Prove as identidades:
\operatorname{sen} a-\operatorname{sen} b=2 \cos \frac{a+b}{2} \cdot \operatorname{sen} \frac{a-b}{2}

Passo 1

O enunciado pede que a gente mostre a fórmula de soma-para-produto aplicada à diferença de senos:
\sin a - \sin b = 2 \cos\!\bigl(\tfrac{a+b}{2}\bigr)\,\sin\!\bigl(\tfrac{a-b}{2}\bigr).
Para isso, vamos usar a fórmula de adição de ângulos para o seno, que diz
\sin(X\pm Y)=\sin X\cos Y\pm\cos X\sin Y.

Passo 2

Definimos
\alpha = \frac{a+b}{2}, \qquad \beta = \frac{a-b}{2}.
Note que com essas escolhas temos
a = \alpha + \beta \quad\text{e}\quad b = \alpha - \beta.

Passo 3

Reescrevemos o lado esquerdo da identidade em função de \alpha e \beta:
\sin a - \sin b = \sin(\alpha + \beta) \;-\;\sin(\alpha - \beta).

Passo 4

Aplicamos a fórmula de adição de ângulos em cada termo:
\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta,
\sin(\alpha-\beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta.
Subtraindo uma expressão da outra, temos
\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta) = \bigl(\sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta\bigr) -\bigl(\sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta\bigr) = 2\,\cos\alpha\,\sin\beta.

Passo 5

Basta agora voltar de \alpha,\beta para a,b. Como \alpha=\tfrac{a+b}{2} e \beta=\tfrac{a-b}{2}, concluímos
\sin a - \sin b = 2\,\cos\!\bigl(\tfrac{a+b}{2}\bigr)\,\sin\!\bigl(\tfrac{a-b}{2}\bigr),
que é justamente a identidade desejada.

Resposta

\sin a - \sin b = 2 \cos\!\bigl(\tfrac{a+b}{2}\bigr)\,\sin\!\bigl(\tfrac{a-b}{2}\bigr).

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