Prove as identidades:
\cos a-\cos b=-2 \operatorname{sen} \frac{a+b}{2} \cdot \operatorname{sen} \frac{a-b}{2}

Passo 1

O enunciado pede para provar a fórmula de diferença para cossenos, transformando a diferença \cos a-\cos b em produto de senos. Vamos usar as fórmulas de soma e diferença de ângulos em trigonometria.

Passo 2

Definimos dois ângulos auxiliares
u = \frac{a+b}{2}, \quad v = \frac{a-b}{2}.
Assim temos
a = u + v, \quad b = u - v.

Passo 3

Reescrevemos a diferença desejada em termos de u e v:
\cos a - \cos b = \cos\bigl(u+v\bigr) - \cos\bigl(u-v\bigr).

Passo 4

Aplicamos as fórmulas de cosseno de soma e diferença:
\cos(u+v) = \cos u\cos v - \operatorname{sen} u\operatorname{sen} v, \quad \cos(u-v) = \cos u\cos v + \operatorname{sen} u\operatorname{sen} v.
Subtraindo essas duas expressões:
\cos(u+v)-\cos(u-v) = \bigl(\cos u\cos v - \operatorname{sen} u\operatorname{sen} v\bigr) - \bigl(\cos u\cos v + \operatorname{sen} u\operatorname{sen} v\bigr) = -2\,\operatorname{sen} u\,\operatorname{sen} v.

Passo 5

Voltando aos ângulos originais, u=(a+b)/2 e v=(a-b)/2, obtém-se
\cos a - \cos b = -2\,\operatorname{sen}\!\frac{a+b}{2}\,\operatorname{sen}\!\frac{a-b}{2}.

Resposta

\cos a - \cos b = -2\,\operatorname{sen}\frac{a+b}{2}\cdot\operatorname{sen}\frac{a-b}{2}.

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