Prove as identidades:
p C_{n}^{p}=n C_{n-1}^{p-1}

Passo 1

O enunciado pede para provar a identidade envolvendo coeficientes binomiais
p \,C_{n}^{p} \;=\; n \,C_{n-1}^{\,p-1}.
O conteúdo usado será a definição de coeficiente binomial
C_{n}^{p} = \frac{n!}{p!\,(n-p)!}
e também uma interpretação combinatória de “escolher p elementos de um conjunto de n”.

Passo 2

Prova algébrica usando a definição de C_{n}^{p}:
p\,C_{n}^{p} = p \,\frac{n!}{p!\,(n-p)!} = \frac{p \,n!}{p\,(p-1)!\,(n-p)!} = \frac{n!}{(p-1)!\,(n-p)!}.
Agora fatoramos n sobre (n-1)!:
\frac{n!}{(p-1)!\,(n-p)!} = n \,\frac{(n-1)!}{(p-1)!\,\bigl((n-1)-(p-1)\bigr)!} = n\,C_{n-1}^{\,p-1}.
Logo
p\,C_{n}^{p} = n\,C_{n-1}^{\,p-1}.

Passo 3

Prova combinatória. Vamos contar de duas formas o número de maneiras de escolher uma equipe de p pessoas dentre n onde uma delas será o capitão:
  1. Primeiro escolho a equipe (sem capitão) e depois escolho o capitão dentro dela. Há C_{n}^{p} formas de escolher a equipe e, em cada escolha, p escolhas para o capitão. Total:
p\,C_{n}^{p}.
  1. Primeiro escolho o capitão (qualquer um dos n) e depois escolho os outros p-1 membros dentre os n-1 restantes. Total:
n \,C_{n-1}^{\,p-1}.
Como é a mesma contagem, concluímos
p\,C_{n}^{p} = n\,C_{n-1}^{\,p-1}.

Resposta

p\,C_{n}^{p} = n\,C_{n-1}^{\,p-1}.

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