Prove as identidades:
Passo 1
O enunciado pede para provar a identidade envolvendo coeficientes binomiais
O conteúdo usado será a definição de coeficiente binomial
e também uma interpretação combinatória de “escolher
elementos de um conjunto de
”.
Passo 2
Prova algébrica usando a definição de
:
Agora fatoramos
sobre
:
Logo
Passo 3
Prova combinatória. Vamos contar de duas formas o número de maneiras de escolher uma equipe de
pessoas dentre
onde uma delas será o capitão:
- Primeiro escolho a equipe (sem capitão) e depois escolho o capitão dentro dela. Há
formas de escolher a equipe e, em cada escolha, escolhas para o capitão. Total:
- Primeiro escolho o capitão (qualquer um dos
) e depois escolho os outros membros dentre os restantes. Total:
Como é a mesma contagem, concluímos