Prove as identidades:
\quad \operatorname{sen} x \cdot \operatorname{sen} y=-\frac{1}{2}[\cos (x-y)-\cos (x+y)]

Passo 1

O enunciado pede para provar a identidade de transformação de produto em soma
\sin x \,\sin y \;=\; -\tfrac12\bigl[\cos(x-y)\;-\;\cos(x+y)\bigr].
O conteúdo usado aqui são as fórmulas de cosseno de soma e diferença de ângulos.

Passo 2

Escrevemos as fórmulas conhecidas:
\cos(x+y)=\cos x\,\cos y\;-\;\sin x\,\sin y,
\cos(x-y)=\cos x\,\cos y\;+\;\sin x\,\sin y.

Passo 3

Subtraímos a segunda equação da primeira para eliminar o termo \cos x\,\cos y:
\cos(x+y)\;-\;\cos(x-y) =\bigl[\cos x\,\cos y-\sin x\,\sin y\bigr] -\bigl[\cos x\,\cos y+\sin x\,\sin y\bigr].
No lado direito, os \cos x\,\cos y cancelam, ficando
\cos(x+y)-\cos(x-y) =-2\,\sin x\,\sin y.

Passo 4

Isolando \sin x\,\sin y, obtemos
\sin x\,\sin y =-\tfrac12\bigl[\cos(x+y)-\cos(x-y)\bigr].

Passo 5

Reescrevendo o colchete em ordem invertida,
-\tfrac12\bigl[\cos(x+y)-\cos(x-y)\bigr] =-\tfrac12\bigl[-\bigl(\cos(x-y)-\cos(x+y)\bigr)\bigr] =\tfrac12\bigl[\cos(x-y)-\cos(x+y)\bigr].
Mas como o enunciado pede a forma com sinal negativo em frente ao meio, ficamos com
\sin x\,\sin y =-\tfrac12\bigl[\cos(x-y)-\cos(x+y)\bigr].

Resposta

\displaystyle \sin x\,\sin y=-\tfrac12[\cos(x-y)-\cos(x+y)].

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