Prove as igualdades abaixo:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2 n+1}=4

Passo 1

O enunciado pede para provar que
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2n+1} = 4.
O conteúdo envolve o estudo de convergência de séries numéricas, em particular o teste do termo geral (ou critério da divergência).

Passo 2

Para qualquer série \sum a_n, um teste inicial é verificar
\lim_{n\to\infty}a_n.
Se esse limite não for zero, a série não pode convergir.

Passo 3

Aqui temos
a_n = \frac{n}{2n+1}.
Vamos calcular o limite de a_n quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty} \frac{n}{2n+1} =\lim_{n\to\infty}\frac{1}{2+\tfrac1n} =\frac12\neq 0.

Passo 4

Como \lim_{n\to\infty}a_n=\tfrac12\neq 0, pelo teste da divergência a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2n+1}
é divergente, isto é, não converge a nenhum valor finito.

Resposta

A série diverge e, portanto, não é igual a 4.

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