Questão 10. Dada o PVI
\left\{\begin{array}{c} x^{\prime}=K\left(t^{2}+x^{2}\right), \quad K \text { é uma constante fixada. } \\\ x(0)=7 \end{array}\right.é
(a) Podemos afirmar que existe solução, x(t), para esse PVI?
(b) Existe função passando pelo ponto (0,7) que é solução desse PVI? Justifique sua resposta!

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial (PVI)
\left\{\begin{array}{l} x'(t)=K\bigl(t^{2}+x(t)^{2}\bigr),\\[4pt] x(0)=7, \end{array}\right.
onde K é uma constante fixa (pode ser positiva, negativa ou zero).\n
As perguntas são:
(a) Podemos afirmar que existe solução x(t) para esse PVI?\n
(b) Existe função passando pelo ponto (0,7) que é solução desse PVI? Justifique.]

Passo 2

Vou primeiro explicar o teorema que usamos para garantir existência (e unicidade) local de soluções: o teorema de Picard–Lindelöf (ou teorema da existência e unicidade). Esse teorema diz, em palavras simples:
  • Se a função f(t,x) que define a EDO x'=f(t,x) é contínua em t e x numa vizinhança do ponto inicial e é Lipschitz em x nessa vizinhança (ou seja, varia de forma controlada com x), então existe uma solução única x(t) definida num intervalo de tempo que contém o ponto inicial. Essa solução é tão suave quanto f.\n
    O que significa Lipschitz em x? Significa que existe uma constante L tal que, para todos t num intervalo e todo x_1,x_2 num intervalo de valores,
|f(t,x_1)-f(t,x_2)|\le L|x_1-x_2|.
Uma hipótese suficiente (mais fácil de checar) é que a derivada parcial \partial f/\partial x exista e seja contínua na região considerada; então f é localmente Lipschitz em x.

Passo 3

Aplicando isso ao nosso PVI: a função do lado direito é
f(t,x)=K\bigl(t^{2}+x^{2}\bigr).
  • f é contínua em (t,x) para todo (t,x)\in\mathbb{R}^2 (polinomial).\n
  • A derivada parcial em relação a x é
\frac{\partial f}{\partial x}(t,x)=2Kx,
que é contínua em (t,x). Logo f é localmente Lipschitz em x em qualquer retângulo que contenha (0,7).\n
Pelo teorema de Picard–Lindelöf, concluímos que existe uma solução única x(t) definida num intervalo aberto contendo t=0. Portanto existe solução local e ela é única.

Passo 4

Agora vamos analisar se podemos garantir uma solução definida em todo \mathbb{R} (solução global) ou se pode haver explosão (blow-up) em tempo finito — isto é importante para responder (b). Vou estudar os casos segundo o sinal de K.
Primeiro observe que para todo t e todo x vale t^{2}+x^{2}\ge x^{2} e também t^{2}+x^{2}\ge 0. Essas desigualdades vão ser úteis.

Passo 5

Caso K=0.\n
A EDO fica x'=0 com x(0)=7. A solução é a função constante
x(t)\equiv 7,
definida para todo t. Então existe solução global passando por (0,7).

Passo 6

Caso K>0.\n
Quero mostrar que a solução, embora exista localmente, não pode ser prolongada indefinidamente para frente no tempo: ela explode (vai para +\infty) em tempo finito para t>0. A estratégia é a transformação
z(t)=\frac{1}{x(t)}
enquanto x(t)>0 (note que x(0)=7>0, e a EDO dá x'(0)=K(0+7^{2})>0, então inicialmente x permanece positiva). Calculemos z'(t):
z'(t)=-\frac{x'(t)}{x(t)^{2}}=-\frac{K\bigl(t^{2}+x(t)^{2}\bigr)}{x(t)^{2}} =-K\Bigl(\frac{t^{2}}{x(t)^{2}}+1\Bigr).
Como \frac{t^{2}}{x(t)^{2}}\ge 0, temos
z'(t)\le -K.
Integramos essa desigualdade desde 0 até t>0:
z(t)-z(0)\le -Kt.
Como z(0)=1/7, obtemos
z(t)\le \frac{1}{7}-Kt.
Voltando para x (lembrando x>0 enquanto a solução existir),
\frac{1}{x(t)}\le \frac{1}{7}-Kt \quad\Longrightarrow\quad x(t)\ge \frac{1}{\frac{1}{7}-Kt}.
O membro direito tem um denominador que se anula em t=\dfrac{1}{7K}. Portanto a função no lado direito tende a +\infty quando t\uparrow \dfrac{1}{7K}. Pelo fato de x(t) ser maior ou igual a essa função, x(t) também deve tornar-se arbitrariamente grande antes (ou ao) atingir t=\dfrac{1}{7K}. Ou seja, a solução não pode ser prolongada além de t=\dfrac{1}{7K}. Concluímos que, para K>0, não existe solução definida para todo t\ge 0; a solução explode em tempo finito (pelo menos antes de t=\dfrac{1}{7K}). Em particular, não existe uma solução definida para todo \mathbb{R} passando por (0,7).

Passo 7

Caso K<0.\n
Aqui x'(t)=K(t^{2}+x^{2})\le 0, então x(t) é decrescente a partir de 7 e permanece positiva num intervalo inicial (já que parte de 7). O argumento da transformação z=1/x dá agora
z'(t)=-K\Bigl(\frac{t^{2}}{x^{2}}+1\Bigr)\ge -K>0,
porque -K>0. Assim z(t) cresce, e x(t)=1/z(t) tende a diminuir e, em princípio, aproximar-se de 0 quando t\to +\infty. Não há motivo, com base nessas desigualdades, para esperar explosão para t\to +\infty (explosão significaria x\to+\infty). Pelo comportamento (derivada negativa e controlada), a solução construída localmente pode ser prolongada para frente no tempo sem explodir para +\infty. Para trás no tempo (valores t<0) análises mais detalhadas mostram que a solução também pode ser prolongada até um possível tempo singular; mas não é obrigatório aqui fazer toda essa análise técnica: o ponto importante é que a possibilidade de explosão que vimos no caso K>0 (crescimento para infinito) não ocorre quando K<0. Em particular, não existe explosão para t>0 e, portanto, existe solução para todo intervalo [0,T) arbitrário; isto geralmente permite estender a solução para todo t\ge 0 (ou seja, existe solução no semi-eixo positivo). (Nota: o caso K<0 não tem a mesma barreira de tempo finito tipo 1/(7K) porque aí 1/(7K) é negativo.)

Passo 8

Resumo e interpretação didática (como fazer parecido na prova):\n
  • Verifique continuidade de f(t,x) e a existência de \partial f/\partial x contínua num retângulo contendo o ponto inicial. Isso garante existência e unicidade local pelo teorema de Picard–Lindelöf. Aqui isso é imediato porque f(t,x)=K(t^{2}+x^{2}) é polinomial.\n
  • Para estudar extensão/globalidade, procure desigualdades que deem comportamento assintótico. A substituição z=1/x é uma ferramenta clássica quando a equação envolve x^{2} e queremos saber sobre explosão para +\infty. Diferencie z, compare e integre a desigualdade para obter um limite inferior/ superior que mostre explosão em tempo finito (para K>0) ou ausência dela (para K\le 0).\n
  • Conclusão prática: sempre cite o teorema para existência local; para existência global, discuta casos segundo o sinal dos parâmetros e use comparações integradas como fizemos.

Resposta

(a) Sim. Existe solução local e única x(t) passando por (0,7) por Picard–Lindelöf, pois f(t,x)=K(t^{2}+x^{2}) é contínua e localmente Lipschitz em x.\n
(b) Depende de K:\n
Se K=0, a solução global é x(t)\equiv 7 (existe função passando por (0,7) definida em todo \mathbb{R}).\n
Se K>0, não existe solução definida para todo \mathbb{R}: a solução explode em tempo finito para t>0 e não pode ser prolongada além de, no máximo, t=\dfrac{1}{7K} (portanto não há solução global passando por (0,7)).\n
Se K<0, não há explosão para t\ge 0 (a solução decresce e pode ser prolongada para frente no tempo); assim existe solução passando por (0,7) pelo menos para todo intervalo [0,T] e, tipicamente, para todo t\ge 0 (o caso K<0 não apresenta a barreira de tempo finito do caso K>0).

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