Questão 10. Dada o PVI
(a) Podemos afirmar que existe solução,
, para esse PVI?
(b) Existe função passando pelo ponto
que é solução desse PVI? Justifique sua resposta!
(b) Existe função passando pelo ponto
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial (PVI)
onde
é uma constante fixa (pode ser positiva, negativa ou zero).\n
As perguntas são:
(a) Podemos afirmar que existe solução para esse PVI?\n
(b) Existe função passando pelo ponto que é solução desse PVI? Justifique.]
As perguntas são:
(a) Podemos afirmar que existe solução
(b) Existe função passando pelo ponto
Passo 2
Vou primeiro explicar o teorema que usamos para garantir existência (e unicidade) local de soluções: o teorema de Picard–Lindelöf (ou teorema da existência e unicidade). Esse teorema diz, em palavras simples:
- Se a função
que define a EDO é contínua em e numa vizinhança do ponto inicial e é Lipschitz em nessa vizinhança (ou seja, varia de forma controlada com ), então existe uma solução única definida num intervalo de tempo que contém o ponto inicial. Essa solução é tão suave quanto .\n
O que significa Lipschitz em? Significa que existe uma constante tal que, para todos num intervalo e todo num intervalo de valores,
Uma hipótese suficiente (mais fácil de checar) é que a derivada parcial
exista e seja contínua na região considerada; então
é localmente Lipschitz em
.
Passo 3
Aplicando isso ao nosso PVI: a função do lado direito é
-
é contínua em para todo (polinomial).\n - A derivada parcial em relação a
é
que é contínua em
. Logo
é localmente Lipschitz em
em qualquer retângulo que contenha
.\n
Pelo teorema de Picard–Lindelöf, concluímos que existe uma solução única definida num intervalo aberto contendo
. Portanto existe solução local e ela é única.
Pelo teorema de Picard–Lindelöf, concluímos que existe uma solução única
Passo 4
Agora vamos analisar se podemos garantir uma solução definida em todo
(solução global) ou se pode haver explosão (blow-up) em tempo finito — isto é importante para responder (b). Vou estudar os casos segundo o sinal de
.
Primeiro observe que para todo
e todo
vale
e também
. Essas desigualdades vão ser úteis.
Passo 5
Caso
.\n
A EDO fica com
. A solução é a função constante
A EDO fica
definida para todo
. Então existe solução global passando por
.
Passo 6
Caso
.\n
Quero mostrar que a solução, embora exista localmente, não pode ser prolongada indefinidamente para frente no tempo: ela explode (vai para ) em tempo finito para
. A estratégia é a transformação
Quero mostrar que a solução, embora exista localmente, não pode ser prolongada indefinidamente para frente no tempo: ela explode (vai para
enquanto
(note que
, e a EDO dá
, então inicialmente
permanece positiva). Calculemos
:
Como
, temos
Integramos essa desigualdade desde
até
:
Como
, obtemos
Voltando para
(lembrando
enquanto a solução existir),
O membro direito tem um denominador que se anula em
. Portanto a função no lado direito tende a
quando
. Pelo fato de
ser maior ou igual a essa função,
também deve tornar-se arbitrariamente grande antes (ou ao) atingir
. Ou seja, a solução não pode ser prolongada além de
. Concluímos que, para
, não existe solução definida para todo
; a solução explode em tempo finito (pelo menos antes de
). Em particular, não existe uma solução definida para todo
passando por
.
Passo 7
Caso
.\n
Aqui , então
é decrescente a partir de
e permanece positiva num intervalo inicial (já que parte de
). O argumento da transformação
dá agora
Aqui
porque
. Assim
cresce, e
tende a diminuir e, em princípio, aproximar-se de
quando
. Não há motivo, com base nessas desigualdades, para esperar explosão para
(explosão significaria
). Pelo comportamento (derivada negativa e controlada), a solução construída localmente pode ser prolongada para frente no tempo sem explodir para
. Para trás no tempo (valores
) análises mais detalhadas mostram que a solução também pode ser prolongada até um possível tempo singular; mas não é obrigatório aqui fazer toda essa análise técnica: o ponto importante é que a possibilidade de explosão que vimos no caso
(crescimento para infinito) não ocorre quando
. Em particular, não existe explosão para
e, portanto, existe solução para todo intervalo
arbitrário; isto geralmente permite estender a solução para todo
(ou seja, existe solução no semi-eixo positivo). (Nota: o caso
não tem a mesma barreira de tempo finito tipo
porque aí
é negativo.)
Passo 8
Resumo e interpretação didática (como fazer parecido na prova):\n
- Verifique continuidade de
e a existência de contínua num retângulo contendo o ponto inicial. Isso garante existência e unicidade local pelo teorema de Picard–Lindelöf. Aqui isso é imediato porque é polinomial.\n - Para estudar extensão/globalidade, procure desigualdades que deem comportamento assintótico. A substituição
é uma ferramenta clássica quando a equação envolve e queremos saber sobre explosão para . Diferencie , compare e integre a desigualdade para obter um limite inferior/ superior que mostre explosão em tempo finito (para ) ou ausência dela (para ).\n - Conclusão prática: sempre cite o teorema para existência local; para existência global, discuta casos segundo o sinal dos parâmetros e use comparações integradas como fizemos.
Resposta
(a) Sim. Existe solução local e única
passando por
por Picard–Lindelöf, pois
é contínua e localmente Lipschitz em
.\n
(b) Depende de :\n
Se , a solução global é
(existe função passando por
definida em todo
).\n
Se , não existe solução definida para todo
: a solução explode em tempo finito para
e não pode ser prolongada além de, no máximo,
(portanto não há solução global passando por
).\n
Se , não há explosão para
(a solução decresce e pode ser prolongada para frente no tempo); assim existe solução passando por
pelo menos para todo intervalo
e, tipicamente, para todo
(o caso
não apresenta a barreira de tempo finito do caso
).
(b) Depende de
Se
Se
Se