Prove as igualdades abaixo: sumn=0^infty(-1)^n 12^n+1(n+1)=ln (32)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma soma infinita:
sumn=0^infty (-1)^n 12^n+1(n+1)
e precisamos provar que essa soma é igual a ln (32). Para resolver isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e propriedades dos logaritmos. Vamos precisar manipular a soma e relacioná-la a uma expressão que conhecemos.

Passo 2

Vamos reescrever a soma para facilitar a manipulação:
sumn=0^infty (-1)^n 12^n+1(n+1) = 12 sumn=0^infty (-1)^n2^n (n+1)
Isso simplifica a expressão, isolando um fator 12 fora da soma.

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a soma. Vamos definir m = n + 1, então quando n varia de 0 a infty, m varia de 1 a infty. A soma fica:
12 summ=1^infty (-1)^m-12^m-1 m
Isso nos ajuda a relacionar a soma a uma série conhecida.

Passo 4

Reconhecemos que a série summ=1^infty (-x)^m-1m é relacionada ao logaritmo natural. Em particular, sabemos que:
summ=1^infty (-x)^m-1m = ln(1 + x)x
No nosso caso, x = 12, então substituímos na expressão:
summ=1^infty (-12)^m-1m = ln(1 + 12)12 = 2 ln(32)

Passo 5

Voltando à nossa soma original, temos:
12 times 2 ln(32) = ln(32)
Portanto, provamos que:
sumn=0^infty (-1)^n 12^n+1(n+1) = ln(32)

Resposta

A soma infinita sumn=0^infty(-1)^n 12^n+1(n+1) é igual a ln (32).

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