Prove as igualdades abaixo:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma soma infinita:
e precisamos provar que essa soma é igual a
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e propriedades dos logaritmos. Vamos precisar manipular a soma e relacioná-la a uma expressão que conhecemos.
Passo 2
Vamos reescrever a soma para facilitar a manipulação:
Isso simplifica a expressão, isolando um fator
fora da soma.
Passo 3
Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a soma. Vamos definir
, então quando
varia de
a
,
varia de
a
. A soma fica:
Isso nos ajuda a relacionar a soma a uma série conhecida.
Passo 4
Reconhecemos que a série
é relacionada ao logaritmo natural. Em particular, sabemos que:
No nosso caso,
, então substituímos na expressão:
Passo 5
Voltando à nossa soma original, temos:
Portanto, provamos que:
Resposta
A soma infinita
é igual a
.