Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas. Decida quando integrar em relação a
ou
. Desenhe um retângulo aproximante típico e identifique sua altura e largura. Então, calcule a área da região.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para esboçarmos a região delimitada pelas curvas
e
para
. Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente integrais, para encontrar a área dessa região. Precisaremos identificar os pontos de interseção das curvas, decidir se vamos integrar em relação a
ou
, desenhar um retângulo típico para visualizar a integração e, por fim, calcular a área.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas curvas se cruzam. Isso acontece quando
. Vamos resolver essa equação para
.
Passo 3
Sabemos que
é uma solução óbvia, já que
e
. Vamos verificar outro ponto: para
, temos
e
. Então, as curvas se intersectam em
e
.
Passo 4
Agora, vamos decidir se é melhor integrar em relação a
ou
. Observando as funções, é mais simples integrar em relação a
, pois
está explicitamente definida em termos de
.
Passo 5
Vamos desenhar um retângulo típico perpendicular ao eixo
. A largura desse retângulo será um pequeno incremento em
, representado por
, e a altura será a diferença entre as funções
e
.
Passo 6
A fórmula para calcular a área entre duas curvas quando integrando em relação a
é:
Onde
é a função de cima e
a de baixo. No nosso caso,
e
, com
e
.
Passo 7
Vamos calcular a integral:
Separando a integral:
Então, a área fica:
Passo 8
Vamos avaliar a antiderivada nos limites:
Para :
Para
Para
:
Subtraindo:
Resposta
A área da região delimitada pelas curvas é
unidades de área.