Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas. Decida quando integrar em relação a x ou y. Desenhe um retângulo aproximante típico e identifique sua altura e largura. Então, calcule a área da região.
y = sen(x), y = 2x / pi, x ≥ 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para esboçarmos a região delimitada pelas curvas e para . Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente integrais, para encontrar a área dessa região. Precisaremos identificar os pontos de interseção das curvas, decidir se vamos integrar em relação a ou , desenhar um retângulo típico para visualizar a integração e, por fim, calcular a área.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas curvas se cruzam. Isso acontece quando . Vamos resolver essa equação para .

Passo 3

Sabemos que é uma solução óbvia, já que e . Vamos verificar outro ponto: para , temos e . Então, as curvas se intersectam em e .

Passo 4

Agora, vamos decidir se é melhor integrar em relação a ou . Observando as funções, é mais simples integrar em relação a , pois está explicitamente definida em termos de .

Passo 5

Vamos desenhar um retângulo típico perpendicular ao eixo . A largura desse retângulo será um pequeno incremento em , representado por , e a altura será a diferença entre as funções e .

Passo 6

A fórmula para calcular a área entre duas curvas quando integrando em relação a é:
Á
Onde é a função de cima e a de baixo. No nosso caso, e , com e .

Passo 7

Vamos calcular a integral:
Á
Separando a integral:
Então, a área fica:
Á

Passo 8

Vamos avaliar a antiderivada nos limites:
Para :
Para :
Subtraindo:

Resposta

A área da região delimitada pelas curvas é unidades de área.

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