Prove as implicações abaixo.
Se
e se
, então
.
Se
Passo 1
O enunciado fornece as seguintes informações:
- Tem-se um escalar
e dois vetores e . - É dada a igualdade
. - Sabe-se que
.
O que se pede: provar que
.
Passo 2
Lembrete importante (definição usada): quando os escalares pertencem a um corpo (por exemplo
), todo escalar não-nulo tem um inverso multiplicativo. Ou seja, como
, existe um número
tal que
Aqui
é o elemento neutro multiplicativo dos escalares (o “1” usual) e a propriedade significa que multiplicar por
cancela
.
Passo 3
Aplicar
aos dois lados da igualdade
. Isto é permitido porque a igualdade é verdadeira e podemos operar da mesma forma em ambos os membros. Escrevendo:
Passo 4
Usar a associatividade da multiplicação escalar para vetores, que diz que
para quaisquer escalares
e vetor
. Aplicando com
e
obtemos
Passo 5
Como
(do Passo 2), a igualdade do Passo 4 vira
Agora usamos a propriedade do elemento neutro escalar:
para todo vetor
. Portanto
Passo 6
(Exemplo concreto para intuição) Se
e
, multiplicando por
obtém-se
. O argumento geral acima é exatamente essa ideia, formalizada para qualquer
.