Prove as implicações abaixo.
Se \alpha \vec{u}=\alpha \vec{v} e se \alpha \neq 0, então \vec{u}=\vec{v}.

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações:
  • Tem-se um escalar \alpha e dois vetores \vec{u} e \vec{v}.
  • É dada a igualdade \alpha\vec{u}=\alpha\vec{v}.
  • Sabe-se que \alpha \neq 0.
O que se pede: provar que \vec{u}=\vec{v}.

Passo 2

Lembrete importante (definição usada): quando os escalares pertencem a um corpo (por exemplo \mathbb{R}), todo escalar não-nulo tem um inverso multiplicativo. Ou seja, como \alpha\neq0, existe um número \alpha^{-1} tal que
\alpha^{-1}\alpha=1.
Aqui 1 é o elemento neutro multiplicativo dos escalares (o “1” usual) e a propriedade significa que multiplicar por \alpha^{-1} cancela \alpha.

Passo 3

Aplicar \alpha^{-1} aos dois lados da igualdade \alpha\vec{u}=\alpha\vec{v}. Isto é permitido porque a igualdade é verdadeira e podemos operar da mesma forma em ambos os membros. Escrevendo:
\alpha^{-1}(\alpha\vec{u})=\alpha^{-1}(\alpha\vec{v}).

Passo 4

Usar a associatividade da multiplicação escalar para vetores, que diz que \beta(\gamma\vec{w})=(\beta\gamma)\vec{w} para quaisquer escalares \beta,\gamma e vetor \vec{w}. Aplicando com \beta=\alpha^{-1} e \gamma=\alpha obtemos
(\alpha^{-1}\alpha)\vec{u}=(\alpha^{-1}\alpha)\vec{v}.

Passo 5

Como \alpha^{-1}\alpha=1 (do Passo 2), a igualdade do Passo 4 vira
1\vec{u}=1\vec{v}.
Agora usamos a propriedade do elemento neutro escalar: 1\vec{w}=\vec{w} para todo vetor \vec{w}. Portanto
\vec{u}=\vec{v}.

Passo 6

(Exemplo concreto para intuição) Se \alpha=2 e 2\vec{u}=2\vec{v}, multiplicando por 1/2 obtém-se \vec{u}=\vec{v}. O argumento geral acima é exatamente essa ideia, formalizada para qualquer \alpha\neq0.

Resposta

\vec{u}=\vec{v}

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