Há 4 equações e 5 incógnitas: as incógnitas, pela ordem que vou usar, são x,y,z,w,t.
O sistema é homogêneo (lado direito são zeros), então a solução trivial (0,0,0,0,0) sempre existe; espera-se achar a solução geral (possivelmente um espaço de soluções com parâmetros).
Preciso encontrar todas as soluções (x,y,z,w,t) que satisfazem simultaneamente as quatro equações.
Passo 2
Estratégia escolhida (sem detalhes técnicos profundos ainda): usar eliminação de Gauss (operações elementares sobre linhas) para colocar a matriz de coeficientes em forma escalonada, identificar variáveis livres e fazer substituição para obter a solução geral. Rápida nota: operações elementares não mudam o conjunto de soluções do sistema.
Escrevo a matriz dos coeficientes (matriz A) associada a S_{2}, na ordem de colunas (x,y,z,w,t):
Observação didática: obtivemos três linhas não-nulas com pivôs nas colunas 1, 2 e 4. Isso indica que o posto da matriz é 3. Como há 5 incógnitas, o espaço das soluções terá dimensão 5-3=2; ou seja, surgirão duas variáveis livres.]
Passo 6
Faço agora redução para facilitar leitura das equações correspondentes às linhas escalonadas (eliminar entradas acima dos pivôs).
A matriz atual corresponde às equações:
\begin{array}{rcl} 2x + y -4z +3w +0t &=& 0,\\[4pt] y +3z -2w +0t &=& 0,\\[4pt] w - t &=& 0. \end{array}
Primeiro, elimino o y da primeira equação usando a segunda: substituo R_1 := R_1 - R_2. Isso dá
R_1 = (2,1,-4,3,0) - (0,1,3,-2,0) = (2,0,-7,5,0).
Agora uso a terceira linha R_3=(0,0,0,1,-1) para zerar as entradas em w nas linhas acima:
Em R_1 tenho 5 em w, então R_1 := R_1 - 5R_3.
Em R_2 tenho -2 em w, então R_2 := R_2 + 2R_3.
Cálculos:
R_1 = (2,0,-7,5,0) -5(0,0,0,1,-1) = (2,0,-7,0,5),
R_2 = (0,1,3,-2,0) +2(0,0,0,1,-1) = (0,1,3,0,-2).
Matriz na forma reduzida por linhas (não necessariamente RREF, mas com pivôs limpos acima e abaixo):
Interpreto as linhas como equações simples para os incógnitos:
Da primeira linha: \;2x -7z +5t = 0.
Da segunda linha: \;y +3z -2t = 0.
Da terceira linha: \;w - t = 0.
As colunas correspondem a (x,y,z,w,t). As variáveis que aparecem sem pivô são z (coluna 3) e t (coluna 5) — são as variáveis livres. Vou parametrizá-las: seja \lambda o parâmetro para z e \mu o parâmetro para t:
Observação prática: se preferir evitar frações, pode reparametrizar escolhendo \lambda'=2\lambda e \mu'=2\mu; fica equivalente e gera vetores inteiros.]