[10 pontos]
Expresse a matriz A=\left(\begin{array}{ccc}0 & -1 & 1 \\\\ 1 & 0 & 1 \\\\ 1 & 1 & -1\end{array}\right) \in M_{3}(\mathbb{R}) como soma de uma matriz simétrica e de uma matriz antissimétrica.
e pede para expressá‑la como soma de uma matriz simétrica e de uma matriz antissimétrica (antissimétrica = matriz cujo transposto é o negativo).
Informações relevantes fornecidas:
A matriz A está completamente especificada por suas entradas.
A tarefa é encontrar matrizes S (simétrica) e K (antissimétrica) tais que A=S+K.]
Passo 2
Idéia padrão e fórmula que vamos usar (essa é a receita que cai em prova): qualquer matriz real A pode ser escrita de maneira única como soma
Observação sobre unicidade (útil na prova): se A=S'+K' com S'^{T}=S' e K'^{T}=-K', então somando A e A^{T} e dividindo por 2 recupera S', mostrando que a decomposição é única.
Agora aplicamos essa fórmula ao A dado.
Passo 3
Primeiro calculemos o transposto A^{T} trocando linhas por colunas. A matriz A é