3^{\underline{\text { a }}} Questão:

[10 pontos]
Expresse a matriz A=\left(\begin{array}{ccc}0 & -1 & 1 \\\\ 1 & 0 & 1 \\\\ 1 & 1 & -1\end{array}\right) \in M_{3}(\mathbb{R}) como soma de uma matriz simétrica e de uma matriz antissimétrica.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix}0 & -1 & 1 \\[4pt] 1 & 0 & 1 \\[4pt] 1 & 1 & -1\end{pmatrix}\in M_3(\mathbb{R})
e pede para expressá‑la como soma de uma matriz simétrica e de uma matriz antissimétrica (antissimétrica = matriz cujo transposto é o negativo).
Informações relevantes fornecidas:
  • A matriz A está completamente especificada por suas entradas.
  • A tarefa é encontrar matrizes S (simétrica) e K (antissimétrica) tais que A=S+K.]

Passo 2

Idéia padrão e fórmula que vamos usar (essa é a receita que cai em prova): qualquer matriz real A pode ser escrita de maneira única como soma
A = S + K
onde
S=\frac{A + A^{T}}{2},\qquad K=\frac{A - A^{T}}{2}.
Por que isso funciona? Vou explicar passo a passo e de forma didática:
  • Definições:
    • Uma matriz S é simétrica se S^{T}=S.
    • Uma matriz K é antissimétrica (ou skew‑simétrica) se K^{T}=-K.
  • Verificação rápida das propriedades da construção:
    • Calcule \left(\dfrac{A+A^{T}}{2}\right)^{T}=\dfrac{A^{T}+A}{2}=\dfrac{A+A^{T}}{2}, logo S é simétrica.
    • Calcule \left(\dfrac{A-A^{T}}{2}\right)^{T}=\dfrac{A^{T}-A}{2}=-\dfrac{A-A^{T}}{2}, logo K é antissimétrica.
    • Soma: S+K=\dfrac{A+A^{T}}{2}+\dfrac{A-A^{T}}{2}=A.
  • Observação sobre unicidade (útil na prova): se A=S'+K' com S'^{T}=S' e K'^{T}=-K', então somando A e A^{T} e dividindo por 2 recupera S', mostrando que a decomposição é única.
Agora aplicamos essa fórmula ao A dado.

Passo 3

Primeiro calculemos o transposto A^{T} trocando linhas por colunas. A matriz A é
A = \begin{pmatrix}0 & -1 & 1 \\[4pt] 1 & 0 & 1 \\[4pt] 1 & 1 & -1\end{pmatrix}.
Portanto
A^{T} = \begin{pmatrix}0 & 1 & 1 \\[4pt] -1 & 0 & 1 \\[4pt] 1 & 1 & -1\end{pmatrix}.]

Passo 4

Agora calculamos S=\dfrac{A+A^{T}}{2}. Primeiro somamos A e A^{T} elemento a elemento:
A + A^{T} = \begin{pmatrix} 0+0 & -1+1 & 1+1 \\[4pt] 1+(-1) & 0+0 & 1+1 \\[4pt] 1+1 & 1+1 & -1+(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 2 \\[4pt] 0 & 0 & 2 \\[4pt] 2 & 2 & -2 \end{pmatrix}.
Dividindo por 2 obtém-se
S=\frac{A+A^{T}}{2}= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\[4pt] 0 & 0 & 1 \\[4pt] 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}.
Cheque mental: S^{T}=S (as entradas acima confirmam).]

Passo 5

Agora calculamos K=\dfrac{A-A^{T}}{2}. Primeiro a diferença:
A - A^{T} = \begin{pmatrix} 0-0 & -1-1 & 1-1 \\[4pt] 1-(-1) & 0-0 & 1-1 \\[4pt] 1-1 & 1-1 & -1-(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -2 & 0 \\[4pt] 2 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Dividindo por 2 obtém-se
K=\frac{A-A^{T}}{2}= \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\[4pt] 1 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Cheque mental: K^{T}=-K (transposto troca sinais nos off‑diagonais), então K é antissimétrica.]

Passo 6

Verificação final rápida: somando S+K elemento a elemento recuperamos A:
\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\[4pt] 0 & 0 & 1 \\[4pt] 1 & 1 & -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\[4pt] 1 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 1 \\[4pt] 1 & 0 & 1 \\[4pt] 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}=A.
Pronto — a decomposição está correta e é a única possível.]

Resposta

\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\[4pt] 0 & 0 & 1 \\[4pt] 1 & 1 & -1 \end{pmatrix} \qquad\text{e}\qquad \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\[4pt] 1 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

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