Prove que:
Se
e
, então
.
Se
Passo 1
O enunciado pede para provar que, se
e
, então
.
Informações dadas:
Informações dadas:
-
é um inteiro: . -
não divide : .
O objetivo final é mostrar a congruência.
Passo 2
Lembrete sobre congruências e redução de restos: dizer que dois inteiros
e
são congruentes módulo
significa que
divide
; escrevemos
. Uma propriedade útil é que se
então para qualquer inteiro
vale
. Isso permite substituir
pelo seu resto modulo
ao elevar à quarta potência.
Passo 3
Como
, o resto de
na divisão por
não é
. Portanto o resto (classe de congruência) de
modulo
está em
. Ou seja, existe
tal que
Pelo Passo 2, basta mostrar que
para cada
desses, pois então teremos
.
Passo 4
Calcular
para cada possível resto
:
Para
:
Para
:
Como
e
é divisível por
, temos
Para
: observe que
. Assim
Para
: observe que
. Assim
Passo 5
Como para todos os restos possíveis
temos
, e como
, concluímos que
Passo 6
Observação alternativa (útil para provas mais gerais): este resultado é uma instância do Pequeno Teorema de Fermat, que diz que para primo
e inteiro
tem-se
. Tomando
e supondo
, multiplica-se ambos os lados por
(existe inverso multiplicativo de
módulo
porque
) para obter
. Esta é só uma via alternativa; a prova por verificação dos restos (Passos 3–5) é elementar e suficiente.