Prove que:
Se a \in \mathbb{Z} e 5 \nmid a, então a^{4} \equiv 1(\bmod 5).

Passo 1

O enunciado pede para provar que, se \,a\in\mathbb{Z} e \,5\nmid a, então \,a^{4}\equiv1\pmod{5}.
Informações dadas:
  • a é um inteiro: \,a\in\mathbb{Z}.
  • 5 não divide a: \,5\nmid a.
    O objetivo final é mostrar a congruência \,a^{4}\equiv1\pmod{5}.

Passo 2

Lembrete sobre congruências e redução de restos: dizer que dois inteiros x e y são congruentes módulo 5 significa que 5 divide x-y; escrevemos x\equiv y\pmod{5}. Uma propriedade útil é que se x\equiv y\pmod{5} então para qualquer inteiro k vale x^{k}\equiv y^{k}\pmod{5}. Isso permite substituir a pelo seu resto modulo 5 ao elevar à quarta potência.

Passo 3

Como \,5\nmid a, o resto de a na divisão por 5 não é 0. Portanto o resto (classe de congruência) de a modulo 5 está em \{\,1,2,3,4\,\}. Ou seja, existe r\in\{\,1,2,3,4\,\} tal que
a\equiv r\pmod{5}.
Pelo Passo 2, basta mostrar que r^{4}\equiv1\pmod{5} para cada r desses, pois então teremos a^{4}\equiv r^{4}\equiv1\pmod{5}.

Passo 4

Calcular r^{4} para cada possível resto r:
Para r=1:
1^{4}=1\equiv1\pmod{5}.
Para r=2:
2^{4}=16.
Como 16-1=15 e 15 é divisível por 5, temos
2^{4}=16\equiv1\pmod{5}.
Para r=3: observe que 3\equiv -2\pmod{5}. Assim
3^{4}=(-2)^{4}=2^{4}=16\equiv1\pmod{5}.
Para r=4: observe que 4\equiv -1\pmod{5}. Assim
4^{4}=(-1)^{4}=1\equiv1\pmod{5}.

Passo 5

Como para todos os restos possíveis r\in\{\,1,2,3,4\,\} temos r^{4}\equiv1\pmod{5}, e como a\equiv r\pmod{5}, concluímos que
a^{4}\equiv r^{4}\equiv1\pmod{5}.

Passo 6

Observação alternativa (útil para provas mais gerais): este resultado é uma instância do Pequeno Teorema de Fermat, que diz que para primo p e inteiro a tem-se \,a^{p}\equiv a\pmod{p}. Tomando p=5 e supondo 5\nmid a, multiplica-se ambos os lados por a^{-1} (existe inverso multiplicativo de a módulo 5 porque \gcd(a,5)=1) para obter a^{4}\equiv1\pmod{5}. Esta é só uma via alternativa; a prova por verificação dos restos (Passos 3–5) é elementar e suficiente.

Resposta

a^{4}\equiv1\pmod{5}

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