Prove que:
Para todo inteiro a, a^{3} \equiv a(\bmod 6).

Passo 1

O enunciado pede para provar que, para todo inteiro a,
a^{3}\equiv a \pmod{6}.
Informações dadas:
  • a é um inteiro arbitrário.
  • A afirmação é uma congruência módulo 6: deve valer para todo inteiro a.

Passo 2

Recordando o significado de congruência modular (isso é importante para saber o que exatamente provar):
  • Dizemos que x\equiv y\pmod{n} quando n divide a diferença x-y.
    Portanto, para provar \,a^{3}\equiv a\pmod{6}\, basta mostrar que
6 \mid \bigl(a^{3}-a\bigr).

Passo 3

Fatoramos a diferença para ver sua estrutura:
a^{3}-a = a\bigl(a^{2}-1\bigr)=a\bigl(a-1\bigr)\bigl(a+1\bigr).
Ou seja, a^{3}-a é o produto de três inteiros consecutivos: a-1,\;a,\;a+1.

Passo 4

Mostro que esse produto é divisível por 2.
  • Entre três inteiros consecutivos, certamente existe um número par. Formalmente:
    • Se a é par então 2\mid a.
    • Se a é ímpar então a-1 e a+1 são pares, logo pelo menos um fator par aparece no produto.
      Portanto
2 \mid a\bigl(a-1\bigr)\bigl(a+1\bigr).

Passo 5

Mostro que o produto é divisível por 3.
  • Considere os resíduos de a módulo 3. Existem três casos:
    1. Se a\equiv 0\pmod{3} então 3\mid a.
    2. Se a\equiv 1\pmod{3} então a-1\equiv 0\pmod{3}, logo 3\mid(a-1).
    3. Se a\equiv 2\pmod{3} então a+1\equiv 0\pmod{3}, logo 3\mid(a+1).
      Em todos os casos, um dos fatores a-1,\,a,\,a+1 é múltiplo de 3. Assim
3 \mid a\bigl(a-1\bigr)\bigl(a+1\bigr).

Passo 6

Combino as duas divisibilidades para concluir a divisibilidade por 6.
  • Já vimos que 2 divide a(a-1)(a+1) e que 3 também divide a(a-1)(a+1).
  • Como \gcd(2,3)=1, sempre que 2\mid N e 3\mid N vale 6\mid N. (Prova breve: se N=2k e N=3\ell então 3\mid 2k; como \gcd(2,3)=1 segue que 3\mid k, logo k=3m e N=2\cdot3m=6m.)
    Portanto
6 \mid a\bigl(a-1\bigr)\bigl(a+1\bigr)=a^{3}-a.

Passo 7

Da divisibilidade obtida segue exatamente a congruência desejada:
a^{3}-a \equiv 0 \pmod{6}\quad\Longrightarrow\quad a^{3}\equiv a \pmod{6},
para todo inteiro a.

Resposta

a^{3}\equiv a \pmod{6}

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