Prove que:
Para todo inteiro
.
Para todo inteiro
Passo 1
O enunciado pede para provar que, para todo inteiro
,
Informações dadas:
-
é um inteiro arbitrário. - A afirmação é uma congruência módulo
: deve valer para todo inteiro .
Passo 2
Recordando o significado de congruência modular (isso é importante para saber o que exatamente provar):
- Dizemos que
quando divide a diferença .
Portanto, para provarbasta mostrar que
Passo 3
Fatoramos a diferença para ver sua estrutura:
Ou seja,
é o produto de três inteiros consecutivos:
.
Passo 4
Mostro que esse produto é divisível por
.
- Entre três inteiros consecutivos, certamente existe um número par. Formalmente:
- Se
é par então . - Se
é ímpar então e são pares, logo pelo menos um fator par aparece no produto.
Portanto
- Se
Passo 5
Mostro que o produto é divisível por
.
- Considere os resíduos de
módulo . Existem três casos: - Se
então . - Se
então , logo . - Se
então , logo .
Em todos os casos, um dos fatoresé múltiplo de . Assim
- Se
Passo 6
Combino as duas divisibilidades para concluir a divisibilidade por
.
- Já vimos que
divide e que também divide . - Como
, sempre que e vale . (Prova breve: se e então ; como segue que , logo e .)
Portanto
Passo 7
Da divisibilidade obtida segue exatamente a congruência desejada:
para todo inteiro
.