Prove por indução:
1^{2}+3^{2}+\cdots+(2 n-1)^{2}=\frac{n}{3}\left(4 n^{2}-1\right), \forall n \geq 1.

Passo 1

O enunciado pede para provar por indução a igualdade
1^{2}+3^{2}+\cdots+(2 n-1)^{2}=\frac{n}{3}\left(4 n^{2}-1\right)
para todo n\geq 1.
Informações relevantes dadas:
  • A soma do lado esquerdo é a soma dos quadrados dos n primeiros números ímpares: 1^{2},3^{2},\dots,(2n-1)^{2}.
  • A afirmação a demonstrar é que essa soma é igual ao lado direito \dfrac{n}{3}\bigl(4n^{2}-1\bigr) para todo n\geq 1.
  • Não há outros dados; a técnica pedida é indução (o enunciado diz “Prove por indução”).

Passo 2

Explicando o método de prova por indução (passo a passo, como numa receita):
  • Definimos a proposição P(n) como sendo a afirmação P(n):\quad 1^{2}+3^{2}+\cdots+(2 n-1)^{2}=\frac{n}{3}\left(4 n^{2}-1\right).
  • A prova por indução tem duas partes essenciais:
    1. Base da indução: verificar que P(1) é verdadeira.
    2. Passo indutivo: assumir que P(n) é verdadeira para algum n\geq 1 (hipótese de indução) e provar que daí segue P(n+1).
  • Se ambas as partes são verificadas, então P(n) é verdadeira para todo n\geq 1.

Passo 3

Base da indução ( n=1). Calcular os dois lados e comparar.
  • Lado esquerdo para n=1: 1^{2}=1.
  • Lado direito para n=1: \frac{1}{3}\left(4\cdot 1^{2}-1\right)=\frac{1}{3}(4-1)=\frac{3}{3}=1.
Logo 1^{2}=1=\dfrac{1}{3}(4\cdot1^{2}-1), isto é, P(1) é verdadeira.

Passo 4

Hipótese de indução. Suponha que para algum n\geq 1 valha P(n), isto é, suponha que
1^{2}+3^{2}+\cdots+(2 n-1)^{2}=\frac{n}{3}\left(4 n^{2}-1\right).
Vamos usar essa hipótese para mostrar P(n+1).

Passo 5

Passo indutivo. Escrevemos a soma até n+1 termos e usamos a hipótese de indução:
1^{2}+3^{2}+\cdots+(2 n-1)^{2}+(2(n+1)-1)^{2}.
Observação: 2(n+1)-1=2n+1. Portanto o novo termo é (2n+1)^{2}.
Aplicando a hipótese de indução para a soma até (2n-1)^{2}, obtemos
\frac{n}{3}\left(4 n^{2}-1\right)+(2n+1)^{2}.
Agora vamos manipular essa expressão passo a passo para colocá-la na forma desejada.
Calcule (2n+1)^{2}:
(2n+1)^{2}=4n^{2}+4n+1.
Somando com a fração:
\frac{n}{3}\left(4 n^{2}-1\right)+(4n^{2}+4n+1).
Para combinar termos, escrevemos o segundo somando com denominador 3:
\frac{n(4 n^{2}-1)}{3}+\frac{3(4n^{2}+4n+1)}{3}=\frac{n(4 n^{2}-1)+3(4n^{2}+4n+1)}{3}.
Expandindo os numeradores:
n(4 n^{2}-1)=4n^{3}-n,
3(4n^{2}+4n+1)=12n^{2}+12n+3.
Somando:
4n^{3}-n+12n^{2}+12n+3=4n^{3}+12n^{2}+11n+3.
Agora fatoramos esse polinômio para mostrar que corresponde ao lado direito com n+1:
vamos verificar que
4n^{3}+12n^{2}+11n+3=(n+1)(4n^{2}+8n+3).
Multiplicando o lado direito para checar:
(n+1)(4n^{2}+8n+3)=n(4n^{2}+8n+3)+(4n^{2}+8n+3)
=4n^{3}+8n^{2}+3n+4n^{2}+8n+3=4n^{3}+12n^{2}+11n+3,
que coincide com o numerador que obtivemos. Portanto
\frac{4n^{3}+12n^{2}+11n+3}{3}=\frac{(n+1)(4n^{2}+8n+3)}{3}.
Reescrevendo em forma desejada, note que
4n^{2}+8n+3=4(n+1)^{2}-1,
pois 4(n+1)^{2}-1=4(n^{2}+2n+1)-1=4n^{2}+8n+4-1=4n^{2}+8n+3.
Assim chegamos a
\frac{(n+1)(4n^{2}+8n+3)}{3}=\frac{n+1}{3}\left(4(n+1)^{2}-1\right),
que é exatamente P(n+1).
Portanto, a partir de P(n) segue P(n+1).

Passo 6

Conclusão final pela indução: como P(1) é verdadeira (base) e P(n)\Rightarrow P(n+1) para todo n\geq 1 (passo indutivo), a proposição P(n) é verdadeira para todo n\geq 1. Parabéns — prova completa!

Resposta

1^{2}+3^{2}+\cdots+(2 n-1)^{2}=\frac{n}{3}\left(4 n^{2}-1\right)

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