Prove por indução:
.
Passo 1
O enunciado pede para provar por indução a igualdade
para todo
.
Informações relevantes dadas:
- A soma do lado esquerdo é a soma dos quadrados dos
primeiros números ímpares: . - A afirmação a demonstrar é que essa soma é igual ao lado direito
para todo . - Não há outros dados; a técnica pedida é indução (o enunciado diz “Prove por indução”).
Passo 2
Explicando o método de prova por indução (passo a passo, como numa receita):
- Definimos a proposição
como sendo a afirmação - A prova por indução tem duas partes essenciais:
- Base da indução: verificar que
é verdadeira. - Passo indutivo: assumir que
é verdadeira para algum (hipótese de indução) e provar que daí segue .
- Base da indução: verificar que
- Se ambas as partes são verificadas, então
é verdadeira para todo .
Passo 3
Base da indução (
). Calcular os dois lados e comparar.
- Lado esquerdo para
: . - Lado direito para
:
Logo
, isto é,
é verdadeira.
Passo 4
Hipótese de indução. Suponha que para algum
valha
, isto é, suponha que
Vamos usar essa hipótese para mostrar
.
Passo 5
Passo indutivo. Escrevemos a soma até
termos e usamos a hipótese de indução:
Observação:
. Portanto o novo termo é
.
Aplicando a hipótese de indução para a soma até
, obtemos
Agora vamos manipular essa expressão passo a passo para colocá-la na forma desejada.
Calcule
:
Somando com a fração:
Para combinar termos, escrevemos o segundo somando com denominador
:
Expandindo os numeradores:
Somando:
Agora fatoramos esse polinômio para mostrar que corresponde ao lado direito com
:
vamos verificar que
vamos verificar que
Multiplicando o lado direito para checar:
que coincide com o numerador que obtivemos. Portanto
Reescrevendo em forma desejada, note que
pois
.
Assim chegamos a
que é exatamente
.
Portanto, a partir de
segue
.
Passo 6
Conclusão final pela indução: como
é verdadeira (base) e
para todo
(passo indutivo), a proposição
é verdadeira para todo
. Parabéns — prova completa!