Sejam os pontos A(1,2,1), B(-1,3,3), C(m+n, 2 p+2, m-p-2 n), determine:
O valor numérico de n, para que, fazendo m=7, C pertença a um plano paralelo ao plano y z que passa pelo ponto (2,1,-1).

Passo 1

O enunciado dá os pontos A(1,2,1), B(-1,3,3) e C(m+n,\;2p+2,\;m-p-2n). Pede para determinar o valor numérico de n tal que, ao tomar m=7, o ponto C pertença a um plano paralelo ao plano yz que passa pelo ponto (2,1,-1).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Coordenada x do ponto C é m+n.
  • Foi dada a condição adicional m=7.
  • O plano pedido é paralelo ao plano yz e passa por (2,1,-1).

Passo 2

Entendendo o que significa "plano paralelo ao plano yz":
  • O plano yz é o conjunto de pontos cujo valor de x é zero; sua equação é x=0.
  • Um plano paralelo ao plano yz tem a mesma direção e, portanto, também fixa a coordenada x como uma constante. Logo, qualquer plano paralelo a yz tem equação da forma x = \text{constante}.
  • Como o plano em questão passa por (2,1,-1), a constante é o x-coordenada desse ponto, isto é, 2. Portanto a equação do plano é x=2.
(Isto é importante: para um ponto pertencer a esse plano paralelo a yz basta que sua coordenada x seja 2.)

Passo 3

Aplicando a condição ao ponto C:
  • A coordenada x de C é m+n. Para C pertencer ao plano x=2 precisamos ter
m+n=2.
  • Substituindo m=7 temos
7+n=2.

Passo 4

Resolver a equação para n:
7+n=2 \quad\Rightarrow\quad n=2-7=-5.

Passo 5

Verificação e comentário final (didático e curto):
  • Com m=7 e n=-5, a coordenada x de C fica m+n=7+(-5)=2, que é exatamente a equação do plano x=2. As outras coordenadas de C dependem de p e não importam para a condição de paralelismo com o plano yz, porque esse plano só exige x=2.
  • Portanto n=-5 é a solução correta.

Resposta

n=-5

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