Questões 27 a 32:
Encontre os limites quando x \rightarrow \infty
Encontre os limites quando x \rightarrow \infty
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular o limite
Informações dadas:
- A função considerada é
. - Queremos saber o comportamento de
quando tende para .
Passo 2
Entender cada parcela separadamente. Primeiro a parcela
.
Explicação do conceito usado: quando escrevemos
, sabemos que
quando
. Dividir 1 por algo que tende a infinito dá zero. Logo
Isto significa que a contribuição
torna-se cada vez menor à medida que
cresce — vai para zero.
Passo 3
Agora a parcela
.
Propriedade importante: para todo
vale
. Multiplicando por 2 obtemos
Ou seja,
é uma função limitada e os seus valores oscilam entre
e
quando
varia. Essa oscilação não se apaga com
: a função
não tem limite quando
porque continua variando entre
e
indefinidamente.
Passo 4
Argumento rigoroso por subsequências (método padrão para mostrar que um limite não existe): se existirem duas sequências
e
tais que as subsequências
e
tenham limites distintos, então
não existe.
Vamos escolher duas sequências simples que anulam a oscilação da cosseno:
- Tome
para . Então e
Para essa sequência,
Como
e
, concluímos
- Tome
para . Então e
Para essa sequência,
e novamente
implica
, portanto
Passo 5
Conclusão lógica: encontrámos duas subsequências
e
que vão para
e tais que
valores diferentes. Portanto a função
não pode ter um único limite quando
. Em linguagem direta: a parte exponencial vai a zero, mas a parte oscilatória
continua a oscilar entre
e
, e essa oscilação impede a existência do limite.
Resposta
O limite não existe.