Questões 27 a 32:
Encontre os limites quando x \rightarrow \infty
\lim _{x \rightarrow \infty}\left(e^{-x}+2 \cos 3 x\right)

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o limite
\lim_{x\to\infty}\bigl(e^{-x}+2\cos 3x\bigr).
Informações dadas:
  • A função considerada é f(x)=e^{-x}+2\cos 3x.
  • Queremos saber o comportamento de f(x) quando x tende para +\infty.

Passo 2

Entender cada parcela separadamente. Primeiro a parcela e^{-x}.
Explicação do conceito usado: quando escrevemos e^{-x}=\dfrac{1}{e^{x}}, sabemos que \,e^{x}\to\infty quando x\to\infty. Dividir 1 por algo que tende a infinito dá zero. Logo
\lim_{x\to\infty} e^{-x}=0.
Isto significa que a contribuição e^{-x} torna-se cada vez menor à medida que x cresce — vai para zero.

Passo 3

Agora a parcela 2\cos 3x.
Propriedade importante: para todo x vale -1\le\cos 3x\le 1. Multiplicando por 2 obtemos
-2\le 2\cos 3x\le 2.
Ou seja, 2\cos 3x é uma função limitada e os seus valores oscilam entre -2 e 2 quando x varia. Essa oscilação não se apaga com x\to\infty: a função \cos 3x não tem limite quando x\to\infty porque continua variando entre -1 e 1 indefinidamente.

Passo 4

Argumento rigoroso por subsequências (método padrão para mostrar que um limite não existe): se existirem duas sequências x_n\to\infty e y_n\to\infty tais que as subsequências f(x_n) e f(y_n) tenham limites distintos, então \lim_{x\to\infty}f(x) não existe.
Vamos escolher duas sequências simples que anulam a oscilação da cosseno:
  • Tome x_n=\dfrac{2\pi n}{3} para n=1,2,\dots. Então 3x_n=2\pi n e
\cos(3x_n)=\cos(2\pi n)=1.
Para essa sequência,
f(x_n)=e^{-x_n}+2\cos(3x_n)=e^{-x_n}+2.
Como x_n\to\infty e \lim_{x\to\infty}e^{-x}=0, concluímos
\lim_{n\to\infty} f(x_n)=2.
  • Tome y_n=\dfrac{\pi+2\pi n}{3} para n=1,2,\dots. Então 3y_n=\pi+2\pi n e
\cos(3y_n)=\cos(\pi+2\pi n)=-1.
Para essa sequência,
f(y_n)=e^{-y_n}+2\cos(3y_n)=e^{-y_n}-2,
e novamente y_n\to\infty implica e^{-y_n}\to 0, portanto
\lim_{n\to\infty} f(y_n)=-2.

Passo 5

Conclusão lógica: encontrámos duas subsequências x_n e y_n que vão para +\infty e tais que
\lim_{n\to\infty} f(x_n)=2 \quad\text{e}\quad \lim_{n\to\infty} f(y_n)=-2,
valores diferentes. Portanto a função f(x)=e^{-x}+2\cos 3x não pode ter um único limite quando x\to\infty. Em linguagem direta: a parte exponencial vai a zero, mas a parte oscilatória 2\cos 3x continua a oscilar entre -2 e 2, e essa oscilação impede a existência do limite.

Resposta

O limite não existe.

Exercícios relacionados