Prove por indução que
2 n^{3}+3 n^{2}+7 n é sempre divisível por 6 para todo n \geq 0;

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, por indução em n, que a expressão
2n^{3}+3n^{2}+7n
é sempre múltiplo de 6 para todo n\ge0. Vamos usar o princípio da indução matemática: verificar o caso base e depois provar que, se vale para n=k, então vale para n=k+1. Também usaremos propriedades elementares de divisibilidade.

Passo 2

Casо base n=0:
Substituindo n=0 em 2n^{3}+3n^{2}+7n obtemos
2\cdot0^{3}+3\cdot0^{2}+7\cdot0=0.
Como 0 é múltiplo de qualquer inteiro, em particular de 6, o caso base está verificado.

Passo 3

Hipótese de indução: suponha que para algum k\ge0 valha
6 \mid \bigl(2k^{3}+3k^{2}+7k\bigr).
Ou seja, existe inteiro m tal que
2k^{3}+3k^{2}+7k = 6m.

Passo 4

Passo indutivo n=k+1: considere
2(k+1)^{3}+3(k+1)^{2}+7(k+1).
Expandindo,
2(k^{3}+3k^{2}+3k+1)+3(k^{2}+2k+1)+7k+7 = \bigl(2k^{3}+3k^{2}+7k\bigr) + 6\bigl(k^{2}+2k+2\bigr).
Pela hipótese de indução, o primeiro termo é múltiplo de 6 e o segundo também (pois 6(k^{2}+2k+2) é visivelmente múltiplo de 6). Logo
6 \mid \bigl[2(k+1)^{3}+3(k+1)^{2}+7(k+1)\bigr].

Passo 5

Concluímos que, se a propriedade vale para n=k, vale também para n=k+1. Juntando com o caso base, pelo princípio da indução, a expressão é divisível por 6 para todo n\ge0.

Resposta

Por indução matemática, 2n^{3}+3n^{2}+7n é múltiplo de 6 para todo n\ge0.

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