Prove por indução que
é sempre divisível por 6 para todo
;
Passo 1
O enunciado pede para mostrar, por indução em
, que a expressão
é sempre múltiplo de
para todo
. Vamos usar o princípio da indução matemática: verificar o caso base e depois provar que, se vale para
, então vale para
. Também usaremos propriedades elementares de divisibilidade.
Passo 2
Casо base
:
Substituindo em
obtemos
Substituindo
Como
é múltiplo de qualquer inteiro, em particular de
, o caso base está verificado.
Passo 3
Hipótese de indução: suponha que para algum
valha
Ou seja, existe inteiro
tal que
Passo 4
Passo indutivo
: considere
Expandindo,
Pela hipótese de indução, o primeiro termo é múltiplo de
e o segundo também (pois
é visivelmente múltiplo de
). Logo
Passo 5
Concluímos que, se a propriedade vale para
, vale também para
. Juntando com o caso base, pelo princípio da indução, a expressão é divisível por
para todo
.
Resposta
Por indução matemática,
é múltiplo de
para todo
.