Verifique se o conjunto V=\mathbb{R}^{2} com as operações definidas por:
v_{1}+v_{2}=\left(a_{1}, b_{1}\right)+\left(a_{2}, b_{2}\right)=\left(a_{1}, b_{1}\right)
e multiplicação por Escalar (usual de \mathbb{R}^{2} ): \alpha v_{1}=\alpha\left(a_{1}, b_{1}\right)=\left(\alpha a_{1}, \alpha b_{1}\right).

Passo 1

O enunciado define em V=\mathbb{R}^2 uma “soma” não usual e a multiplicação por escalar usual. Precisamos verificar se essas operações satisfazem os axiomas de espaço vetorial sobre \mathbb{R}, em particular a comutatividade da adição (e outros, mas bastará encontrar um que falhe).

Passo 2

Teste de comutatividade da adição. Tome
v_1=(1,0),\quad v_2=(0,1).
Pelo enunciado,
v_1+v_2=(1,0),
enquanto
v_2+v_1=(0,1).
Como (1,0)\neq(0,1), a adição não é comutativa.

Resposta

O conjunto V com essa “soma” não satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial (falha a comutatividade). Portanto, não é um espaço vetorial.

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