Prove por indução que
é sempre divisível por 16 para todo
;
Passo 1
O enunciado pede para mostrar, por indução em
, que para todo
a expressão
é múltiplo de
. Vamos usar o princípio da indução matemática, que envolve verificar a base
e depois o passo indutivo de
para
.
Passo 2
Base da indução
:
Calculamos
Calculamos
e
é divisível por
. Logo, a afirmação vale para
.
Passo 3
Hipótese de indução:
Suponha que para um certo exista inteiro
tal que
Suponha que para um certo
Passo 4
Passo indutivo
:
Começamos com
Começamos com
Reescrevendo, temos
Agrupando termos fora do parêntese,
pois
e
, mas o importante é notar que esse conjunto dá múltiplo de
. Mais direto, reorganizamos assim:
Pela hipótese de indução temos
, então
que é múltiplo de
. Assim, a propriedade vale também para
.
Resposta
Portanto, por indução,
é divisível por
para todo
.