Prove por indução:
(a) sumi=1^n i cdot 2^i=(n-1) cdot 2^n+1+2
(b) sumi=1^n i^3=(sumi=1^n i)^2

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, usando indução matemática, duas fórmulas fechadas de somatórios: em (a) a soma ponderada sumi=1^ni,2^i e em (b) a soma de cubos sumi=1^ni^3. Vamos usar o princípio da indução, que tem duas etapas: verificar o caso base e depois provar que, se vale para n=k, então vale para n=k+1.

Passo 2

Parte (a) – base e hipótese indutiva: Para n=1 temos sumi=1^1i,2^i=1cdot2^1=2. Do outro lado, (1-1)2^1+1+2=0cdot4+2=2, então o caso base está ok. Agora assumimos que para um k>=1 vale
sumi=1^ki,2^i=(k-1)2^k+1+2
(esta é nossa hipótese de indução).
Parte (a) – passo indutivo: Queremos mostrar que
sumi=1^k+1i,2^i = ((k+1)-1)2^(k+1)+1+2
Começamos escrevendo a soma até k+1 como a soma até k mais o termo (k+1)2^k+1:
sumi=1^k+1i,2^i = l[(k-1)2^k+1+2r] + (k+1)2^k+1,
onde usei a hipótese. Agora fatoro 2^k+1:
=l[(k-1)+(k+1)r]2^k+1 + 2 = 2k,2^k+1+2 = k,2^k+2+2
E isso é exatamente
((k+1)-1)2^(k+1)+1+2,
fechando a indução para (a).

Passo 3

Parte (b) – base e hipótese indutiva: Para n=1 temos sumi=1^1i^3=1 e (sumi=1^1i)^2=1^2=1, ok. Agora assumimos que para k>=1
sumi=1^ki^3 = l(sumi=1^kir)^2
Lembrando que sumi=1^ki = k(k+1)/2.
Parte (b) – passo indutivo: Queremos mostrar
sumi=1^k+1i^3 = l(sumi=1^k+1ir)^2
Escrevemos
sumi=1^k+1i^3 = sumi=1^ki^3 + (k+1)^3 = l(tfrack(k+1)2r)^2 + (k+1)^3
Do outro lado,
sumi=1^k+1i = tfrack(k+1)2 + (k+1) = tfrac(k+1)(k+2)2,
então
l(sumi=1^k+1ir)^2 = l(tfrac(k+1)(k+2)2r)^2
Bastou verificar que
l(tfrack(k+1)2r)^2 + (k+1)^3 = tfrac(k+1)^2(k+2)^24,
o que é feito fatorando (k+1)^2 e confirmando que k^2/4 + (k+1) = (k+2)^2/4. Assim a indução em (b) fecha.

Passo 4

Pelo princípio da indução matemática, concluímos que ambas as fórmulas valem para todo $n\ge1.

Resposta

Para todo n>=1 vale sumi=1^nicdot2^i=(n-1)2^n+1+2 e sumi=1^ni^3=l(sumi=1^nir)^2.

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