Prove por indução:
(a)
(b)
(a)
(b)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar, usando indução matemática, duas fórmulas fechadas de somatórios: em (a) a soma ponderada
e em (b) a soma de cubos
. Vamos usar o princípio da indução, que tem duas etapas: verificar o caso base e depois provar que, se vale para
, então vale para
.
Passo 2
Parte (a) – base e hipótese indutiva: Para
temos
. Do outro lado,
, então o caso base está ok. Agora assumimos que para um
vale
(esta é nossa hipótese de indução).
Parte (a) – passo indutivo: Queremos mostrar que
Parte (a) – passo indutivo: Queremos mostrar que
Começamos escrevendo a soma até
como a soma até
mais o termo
:
onde usei a hipótese. Agora fatoro
:
E isso é exatamente
fechando a indução para (a).
Passo 3
Parte (b) – base e hipótese indutiva: Para
temos
e
, ok. Agora assumimos que para
Lembrando que
.
Parte (b) – passo indutivo: Queremos mostrar
Parte (b) – passo indutivo: Queremos mostrar
Escrevemos
Do outro lado,
então
Bastou verificar que
o que é feito fatorando
e confirmando que
. Assim a indução em (b) fecha.
Passo 4
Pelo princípio da indução matemática, concluímos que ambas as fórmulas valem para todo $n\ge1.
Resposta
Para todo
vale
e
.