Seja
a região do espaço limitada por baixo pelo plano
, acima pela esfera
lateralmente pelo cilindro
. Escreva a integral iterada que descreve o volume de
usando:
Coordenadas cilíndricas, com ordem de integração
;
Coordenadas cilíndricas, com ordem de integração
Passo 1
O enunciado pede o volume da região R limitada por baixo por z=0, por cima pela esfera x²+y²+z²=4 e lateralmente pelo cilindro x²+y²=1. O tema aqui é cálculo de volume por integral tripla em coordenadas cilíndricas, usando a ordem dz dr dθ.
Passo 2
Em coordenadas cilíndricas temos as relações x=r cosθ, y=r sinθ e z=z, e o elemento de volume dV=r dz dr dθ. A região R em (r,θ,z) satisfaz: 0≤r≤1 (do cilindro), 0≤θ≤2π (ângulo completo) e, para cada r fixo, z varia de 0 até a esfera r²+z²=4, ou seja z=√(4−r²).
Passo 3
Substituindo tudo na integral tripla, o volume V de R fica: