Seja R a região do espaço limitada por baixo pelo plano z=0, acima pela esfera x^2+y^2+z^2=4 e lateralmente pelo cilindro x^2+y^2=1. Escreva a integral iterada que descreve o volume de R usando:
Coordenadas cilíndricas, com ordem de integração d z d r d theta;

Passo 1

O enunciado pede o volume da região R limitada por baixo por z=0, por cima pela esfera x²+y²+z²=4 e lateralmente pelo cilindro x²+y²=1. O tema aqui é cálculo de volume por integral tripla em coordenadas cilíndricas, usando a ordem dz dr dθ.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas temos as relações x=r cosθ, y=r sinθ e z=z, e o elemento de volume dV=r dz dr dθ. A região R em (r,θ,z) satisfaz: 0≤r≤1 (do cilindro), 0≤θ≤2π (ângulo completo) e, para cada r fixo, z varia de 0 até a esfera r²+z²=4, ou seja z=√(4−r²).

Passo 3

Substituindo tudo na integral tripla, o volume V de R fica:

Passo 4

V=integralθ=0^2πintegralr=0^1integralz=0^raiz4-r^2r,dz,dr,dθ

Resposta

V=integral0^2piintegral0^1integral0^raiz4-r^2r,dz,dr,dθ

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