Use indução matemática para mostrar que se são subconjuntos do universo , então
Passo 1
Resumo do enunciado: queremos mostrar por indução em n que, para quaisquer subconjuntos A1, A2, dots, An de um universo U, vale a lei de De Morgan para a união finita. Ou seja, queremos provar que
cupk=1^nAk=capk=1^nAk
Conteúdo usado: definição de complemento de conjunto, união, interseção e a lei de De Morgan para dois conjuntos.
Passo 2
Passo base (n=1): a união de um único conjunto é ele próprio, então
cupk=1^1Ak=A1
Logo
cupk=1^1Ak=A1
e também
capk=1^1Ak=A1
Portanto, a igualdade vale para n=1.
Passo 3
Hipótese de indução: suponha que, para algum n>=1, já seja verdade que
cupk=1^nAk=capk=1^nAk
Passo 4
Passo indutivo: precisamos provar que
cupk=1^n+1Ak=capk=1^n+1Ak
Passo 5
Observe que
cupk=1^n+1Ak=l(cupk=1^nAkr)cup An+1
Pela lei de De Morgan para dois conjuntos, para quaisquer X,Ysubset U vale
Xcup Y=XcapY
Aplicando com X=cupk=1^nAk e Y=An+1, obtemos
l(cupk=1^nAkr)cup An+1=cupk=1^nAkcapAn+1
Passo 6
Agora usamos a hipótese de indução: substituindo
cupk=1^nAk=capk=1^nAk
ficamos com
capk=1^nAk;cap;An+1=capk=1^n+1Ak
Isso mostra que a fórmula vale para n+1.
Passo 7
Conclusão: pelo princípio da indução matemática, a igualdade