Use indução matemática para mostrar que se A1, A2, cdots, An são subconjuntos do universo U, então
cupk=1^n Ak=capk=1^n Ak

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos mostrar por indução em n que, para quaisquer subconjuntos A1, A2, dots, An de um universo U, vale a lei de De Morgan para a união finita. Ou seja, queremos provar que
cupk=1^nAk=capk=1^nAk
Conteúdo usado: definição de complemento de conjunto, união, interseção e a lei de De Morgan para dois conjuntos.

Passo 2

Passo base ( n=1): a união de um único conjunto é ele próprio, então
cupk=1^1Ak=A1
Logo
cupk=1^1Ak=A1
e também
capk=1^1Ak=A1
Portanto, a igualdade vale para n=1.

Passo 3

Hipótese de indução: suponha que, para algum n>=1, já seja verdade que
cupk=1^nAk=capk=1^nAk

Passo 4

Passo indutivo: precisamos provar que
cupk=1^n+1Ak=capk=1^n+1Ak

Passo 5

Observe que
cupk=1^n+1Ak=l(cupk=1^nAkr)cup An+1
Pela lei de De Morgan para dois conjuntos, para quaisquer X,Ysubset U vale
Xcup Y=XcapY
Aplicando com X=cupk=1^nAk e Y=An+1, obtemos
l(cupk=1^nAkr)cup An+1=cupk=1^nAkcapAn+1

Passo 6

Agora usamos a hipótese de indução: substituindo
cupk=1^nAk=capk=1^nAk
ficamos com
capk=1^nAk;cap;An+1=capk=1^n+1Ak
Isso mostra que a fórmula vale para n+1.

Passo 7

Conclusão: pelo princípio da indução matemática, a igualdade
cupk=1^nAk=capk=1^nAk
vale para todo nin N.

Resposta

cupk=1^nAk=capk=1^nAk

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