1. Prove, por indução, o Teorema das Colunas.

Passo 1

Enunciado claro do que vamos provar e os dados que temos.
  • Queremos provar, por indução no tamanho n, o seguinte Teorema das Colunas (forma precisa que vou demonstrar): \text{Se }A\text{ é uma matriz }n\times n\text{ e a coluna }j\text{ de }A\text{ é } \alpha u+\beta v \text{ (com }u,v\in\mathbb{R}^n,\\ \alpha,\beta\in\mathbb{R}\text{), então}ééã
\det\bigl(\ldots,\alpha u+\beta v,\ldots\bigr)= \alpha\,\det\bigl(\ldots,u,\ldots\bigr)+\beta\,\det\bigl(\ldots,v,\ldots\bigr).
Ou seja, a função \det é linear em cada coluna (aditividade e homogeneidade nessa coluna).
  • Vou provar isto por indução em n. Vou usar a fórmula de Laplace (expansão por cofatores) ao expandir o determinante pela coluna j: \det(A)=\sum_{i=1}^{n} a_{ij}\,C_{ij},onde a_{ij} é a entrada da linha i, coluna j de A e C_{ij}=(-1)^{i+j}\det(M_{ij}) é o cofator (com M_{ij} o menor (n-1)\times(n-1)).
  • Informação importante: os cofatores C_{ij} dependem somente das entradas de A fora da coluna j (ou seja, dos outros n-1 vetores-coluna). Isso será usado para separar os efeitos da coluna j.
  • Base da indução será n=1. Hipótese indutiva: suponho o teorema verdadeiro para todas as matrizes (n-1)\times(n-1).

Passo 2

Base da indução: caso n=1.
  • Uma matriz 1\times1 é apenas [a] e \det([a])=a.
  • Se a única coluna (que é o único elemento) é \alpha u+\beta v com u,v\in\mathbb{R} (cada um é um número), então \det\bigl([\alpha u+\beta v]\bigr)=\alpha u+\beta v =\alpha\,\det([u])+\beta\,\det([v]).
  • Logo a propriedade de linearidade na coluna se verifica para n=1. Base ok.

Passo 3

Hipótese indutiva (o que assumimos para prosseguir).
  • Suponho que o Teorema das Colunas seja verdade para todas as matrizes (n-1)\times(n-1): isto é, para qualquer (n-1)\times(n-1) e qualquer coluna fixa dessa ordem, o determinante é linear nessa coluna (aditividade e homogeneidade valem).
  • A partir disso vou provar a propriedade para uma matriz n\times n.

Passo 4

Organização do caso indutivo: notação e estratégia.
  • Seja A uma matriz n\times n. Vou focar na coluna j (uma coluna fixa entre 1 e n). Denoto por a_{1j},a_{2j},\dots,a_{nj} as entradas dessa coluna.
  • Considere o caso em que a coluna j é a soma u+v, onde u=(u_1,\dots,u_n)^\top e v=(v_1,\dots,v_n)^\top. Então a_{ij}=u_i+v_i para cada i.
  • Vou usar a expansão por cofatores ao longo da coluna j: \det(A)=\sum_{i=1}^{n} a_{ij}\,C_{ij},com C_{ij}=(-1)^{i+j}\det(M_{ij}) e M_{ij} o menor que elimina a linha i e a coluna j.

Passo 5

Prova da aditividade (caso coluna j seja u+v).
  • Substituo a_{ij}=u_i+v_i na expansão: \det(A)=\sum_{i=1}^{n} (u_i+v_i)\,C_{ij} =\sum_{i=1}^{n} u_i\,C_{ij}+\sum_{i=1}^{n} v_i\,C_{ij}.
  • Agora interpreto cada soma como um determinante de uma matriz onde a coluna j foi trocada por u ou por v.
    • Seja A^{(u)} a matriz obtida de A substituindo a coluna j por u. Pela fórmula de expansão por cofatores aplicada a A^{(u)} pela mesma coluna j, temos \det\bigl(A^{(u)}\bigr)=\sum_{i=1}^{n} u_i\,C_{ij},porque os cofatores C_{ij} são exatamente os mesmos (eles dependem somente das colunas diferentes da coluna j, que não foram alteradas ao trocar a coluna j).
    • Analogamente, se A^{(v)} é a matriz com coluna j igual a v, então \det\bigl(A^{(v)}\bigr)=\sum_{i=1}^{n} v_i\,C_{ij}.
  • Portanto \det(A)=\det\bigl(A^{(u)}\bigr)+\det\bigl(A^{(v)}\bigr),que é exatamente a aditividade desejada: \det\bigl(\ldots,u+v,\ldots\bigr)=\det\bigl(\ldots,u,\ldots\bigr) +\det\bigl(\ldots,v,\ldots\bigr).

Passo 6

Prova da homogeneidade (fator escalar na coluna).
  • Seja \alpha\in\mathbb{R} e considere a coluna \alpha u. Novamente pela expansão por cofatores: \det\bigl(\ldots,\alpha u,\ldots\bigr)=\sum_{i=1}^{n} (\alpha u_i)\,C_{ij} =\alpha\sum_{i=1}^{n} u_i\,C_{ij} =\alpha\,\det\bigl(\ldots,u,\ldots\bigr).
  • Isto prova que fator escalar pode ser tirado da coluna: homogeneidade.

Passo 7

Combinação linear geral e conclusão do passo indutivo.
  • A aditividade e a homogeneidade juntas dão a linearidade completa: para quaisquer \alpha,\beta e vetores u,v, \det\bigl(\ldots,\alpha u+\beta v,\ldots\bigr) =\alpha\,\det\bigl(\ldots,u,\ldots\bigr)+\beta\,\det\bigl(\ldots,v,\ldots\bigr).
  • Assim a propriedade é verdadeira para matrizes n\times n, completando o passo indutivo.

Passo 8

Observações finais, aplicações rápidas e exemplo numérico simples para fixar.
  • Consequências imediatas:
    • Pode-se tirar um escalar comum de uma coluna: \det(\ldots,\alpha u,\ldots)=\alpha\det(\ldots,u,\ldots).
    • A determinante é uma forma linear em cada coluna, mantendo as outras fixas.
  • Exemplo concreto 2\times2: seja A=\begin{pmatrix} a & c\\\ b & d \end{pmatrix}.Se a segunda coluna é (c,d)^\top = u+v com u=(u_1,u_2)^\top e v=(v_1,v_2)^\top, então \det(A)=ad-bc =(a,b)\cdot (d,-c) = \det\bigl(\ldots,u,\ldots\bigr)+\det\bigl(\ldots,v,\ldots\bigr),que é coerente com a propriedade demonstrada (o exemplo é simples mas ajuda a visualizar).
  • Comentário de ânimo: a ideia chave é sempre a mesma — usar a expansão por cofatores para escrever o determinante como soma das entradas de uma coluna vezes cofatores independentes dessa coluna; isso transforma a prova de linearidade numa conta direta de somas e fatores. É uma prova elegante e prática na prova da faculdade.

Resposta

\det\bigl(\ldots,\alpha u+\beta v,\ldots\bigr)=\alpha\,\det\bigl(\ldots,u,\ldots\bigr)+\beta\,\det\bigl(\ldots,v,\ldots\bigr)

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