- Prove, por indução, o Teorema das Colunas.
Passo 1
Enunciado claro do que vamos provar e os dados que temos.
- Queremos provar, por indução no tamanho
, o seguinte Teorema das Colunas (forma precisa que vou demonstrar):
Ou seja, a função
é linear em cada coluna (aditividade e homogeneidade nessa coluna).
- Vou provar isto por indução em
. Vou usar a fórmula de Laplace (expansão por cofatores) ao expandir o determinante pela coluna : onde é a entrada da linha , coluna de e é o cofator (com o menor ). - Informação importante: os cofatores
dependem somente das entradas de fora da coluna (ou seja, dos outros vetores-coluna). Isso será usado para separar os efeitos da coluna . - Base da indução será
. Hipótese indutiva: suponho o teorema verdadeiro para todas as matrizes .
Passo 2
Base da indução: caso
.
- Uma matriz
é apenas e . - Se a única coluna (que é o único elemento) é
com (cada um é um número), então - Logo a propriedade de linearidade na coluna se verifica para
. Base ok.
Passo 3
Hipótese indutiva (o que assumimos para prosseguir).
- Suponho que o Teorema das Colunas seja verdade para todas as matrizes
: isto é, para qualquer e qualquer coluna fixa dessa ordem, o determinante é linear nessa coluna (aditividade e homogeneidade valem). - A partir disso vou provar a propriedade para uma matriz
.
Passo 4
Organização do caso indutivo: notação e estratégia.
- Seja
uma matriz . Vou focar na coluna (uma coluna fixa entre e ). Denoto por as entradas dessa coluna. - Considere o caso em que a coluna
é a soma , onde e . Então para cada . - Vou usar a expansão por cofatores ao longo da coluna
: com e o menor que elimina a linha e a coluna .
Passo 5
Prova da aditividade (caso coluna
seja
).
- Substituo
na expansão: - Agora interpreto cada soma como um determinante de uma matriz onde a coluna
foi trocada por ou por . - Seja
a matriz obtida de substituindo a coluna por . Pela fórmula de expansão por cofatores aplicada a pela mesma coluna , temos porque os cofatores são exatamente os mesmos (eles dependem somente das colunas diferentes da coluna , que não foram alteradas ao trocar a coluna ). - Analogamente, se
é a matriz com coluna igual a , então
- Seja
- Portanto
que é exatamente a aditividade desejada:
Passo 6
Prova da homogeneidade (fator escalar na coluna).
- Seja
e considere a coluna . Novamente pela expansão por cofatores: - Isto prova que fator escalar pode ser tirado da coluna: homogeneidade.
Passo 7
Combinação linear geral e conclusão do passo indutivo.
- A aditividade e a homogeneidade juntas dão a linearidade completa: para quaisquer
e vetores , - Assim a propriedade é verdadeira para matrizes
, completando o passo indutivo.
Passo 8
Observações finais, aplicações rápidas e exemplo numérico simples para fixar.
- Consequências imediatas:
- Pode-se tirar um escalar comum de uma coluna:
. - A determinante é uma forma linear em cada coluna, mantendo as outras fixas.
- Pode-se tirar um escalar comum de uma coluna:
- Exemplo concreto
: seja Se a segunda coluna é com e , então que é coerente com a propriedade demonstrada (o exemplo é simples mas ajuda a visualizar). - Comentário de ânimo: a ideia chave é sempre a mesma — usar a expansão por cofatores para escrever o determinante como soma das entradas de uma coluna vezes cofatores independentes dessa coluna; isso transforma a prova de linearidade numa conta direta de somas e fatores. É uma prova elegante e prática na prova da faculdade.