Calcule o valor de
.
14. Calcule o valor de
.
14. Calcule o valor de
Passo 1
O enunciado pede o cálculo de duas somas envolvendo coeficientes binomiais. Vou listar claramente o que é pedido e o que sabemos:
- Calcular
. - Calcular
.
Informações úteis (o enunciado dá implicitamente que
é um inteiro não-negativo). Não há outras informações adicionais nem figuras.
Passo 2
Relembrando a definição e interpretação do coeficiente binomial (isso é importante para entender as provas combinatórias que usaremos):
- Por definição,
que conta o número de maneiras de escolher um subconjunto de
elementos de um conjunto com
elementos.
- Uma técnica muito útil é interpretar somas envolvendo
como contagens de objetos construídos a partir de subconjuntos. Vamos usar essa ideia para as duas somas.
Passo 3
Primeira soma: observar uma decomposição algébrica simples que facilita muito:
Logo
Agora vamos calcular separadamente as duas somas do lado direito.
Passo 4
Cálculo de
por contagem combinatória (jeito direto e sem cálculo):
- Interpretação:
é o número de maneiras de escolher um subconjunto de tamanho e, em seguida, escolher um elemento marcado dentro desse subconjunto (escolha do elemento marcado: possibilidades). - Se somarmos sobre todos os
, contamos todas as maneiras de escolher um subconjunto (qualquer tamanho) e depois marcar um elemento desse subconjunto. - Contando de outra forma: primeiro escolho qual será o elemento marcado (tem
escolhas) e depois para os demais elementos escolho livremente se entram ou não no subconjunto (cada um com 2 escolhas), ou seja escolhas para o resto. - Portanto
Passo 5
Cálculo de
por contagem combinatória:
- Interpretação:
conta o número de maneiras de escolher um subconjunto de tamanho e, em seguida, escolher duas posições distintas e ordenadas dentro desse subconjunto (ou seja, escolher um par ordenado de elementos distintos do subconjunto). - Contando de outra forma: primeiro escolho um par ordenado de elementos distintos do universo de
elementos: maneiras. Depois, para os restantes elementos, escolho livremente se cada um entra no subconjunto ou não, o que dá possibilidades. - Assim
Passo 6
Agora voltamos à soma original usando os resultados dos passos anteriores:
Fatorando
:
Portanto chegamos ao resultado fechado para a primeira soma:
Passo 7
Segunda soma:
.
Uma identidade algébrica simples transforma o termo:
Uma identidade algébrica simples transforma o termo:
Isolando
obtemos
Passo 8
Usando a identidade do passo anterior na soma:
Agora faça a substituição de índice
. Quando
vai de
a
,
vai de
a
. Então
Mas a soma de todos os coeficientes binomiais para um dado
é
, ou seja
. Retirando o termo
(que é
) obtemos
Portanto