Calcule o valor de \sum_{k=0}^{n} k^{2} C_{n}^{k}.
14. Calcule o valor de \sum_{k=0}^{n} \frac{C_{n}^{k}}{k+1}.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de duas somas envolvendo coeficientes binomiais. Vou listar claramente o que é pedido e o que sabemos:
  • Calcular \displaystyle \sum_{k=0}^{n} k^{2} \binom{n}{k}.
  • Calcular \displaystyle \sum_{k=0}^{n} \frac{\binom{n}{k}}{k+1}.
Informações úteis (o enunciado dá implicitamente que n é um inteiro não-negativo). Não há outras informações adicionais nem figuras.

Passo 2

Relembrando a definição e interpretação do coeficiente binomial (isso é importante para entender as provas combinatórias que usaremos):
  • Por definição,
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
que conta o número de maneiras de escolher um subconjunto de k elementos de um conjunto com n elementos.
  • Uma técnica muito útil é interpretar somas envolvendo \binom{n}{k} como contagens de objetos construídos a partir de subconjuntos. Vamos usar essa ideia para as duas somas.

Passo 3

Primeira soma: observar uma decomposição algébrica simples que facilita muito:
k^{2}=k(k-1)+k.
Logo
\sum_{k=0}^{n} k^{2}\binom{n}{k}=\sum_{k=0}^{n} k(k-1)\binom{n}{k}+\sum_{k=0}^{n} k\binom{n}{k}.
Agora vamos calcular separadamente as duas somas do lado direito.

Passo 4

Cálculo de \displaystyle \sum_{k=0}^{n} k\binom{n}{k} por contagem combinatória (jeito direto e sem cálculo):
  • Interpretação: k\binom{n}{k} é o número de maneiras de escolher um subconjunto de tamanho k e, em seguida, escolher um elemento marcado dentro desse subconjunto (escolha do elemento marcado: k possibilidades).
  • Se somarmos sobre todos os k, contamos todas as maneiras de escolher um subconjunto (qualquer tamanho) e depois marcar um elemento desse subconjunto.
  • Contando de outra forma: primeiro escolho qual será o elemento marcado (tem n escolhas) e depois para os demais n-1 elementos escolho livremente se entram ou não no subconjunto (cada um com 2 escolhas), ou seja 2^{n-1} escolhas para o resto.
  • Portanto
\sum_{k=0}^{n} k\binom{n}{k}=n\cdot 2^{n-1}.

Passo 5

Cálculo de \displaystyle \sum_{k=0}^{n} k(k-1)\binom{n}{k} por contagem combinatória:
  • Interpretação: k(k-1)\binom{n}{k} conta o número de maneiras de escolher um subconjunto de tamanho k e, em seguida, escolher duas posições distintas e ordenadas dentro desse subconjunto (ou seja, escolher um par ordenado de elementos distintos do subconjunto).
  • Contando de outra forma: primeiro escolho um par ordenado de elementos distintos do universo de n elementos: n(n-1) maneiras. Depois, para os restantes n-2 elementos, escolho livremente se cada um entra no subconjunto ou não, o que dá 2^{n-2} possibilidades.
  • Assim
\sum_{k=0}^{n} k(k-1)\binom{n}{k}=n(n-1)\cdot 2^{n-2}.

Passo 6

Agora voltamos à soma original usando os resultados dos passos anteriores:
\sum_{k=0}^{n} k^{2}\binom{n}{k} = n(n-1)2^{n-2} + n 2^{n-1}.
Fatorando n2^{n-2}:
n(n-1)2^{n-2} + n 2^{n-1} = n2^{n-2}\bigl((n-1)+2\bigr)=n2^{n-2}(n+1).
Portanto chegamos ao resultado fechado para a primeira soma:
\boxed{\displaystyle \sum_{k=0}^{n} k^{2}\binom{n}{k}=n(n+1)2^{n-2}.}

Passo 7

Segunda soma: \displaystyle \sum_{k=0}^{n} \frac{\binom{n}{k}}{k+1}.
Uma identidade algébrica simples transforma o termo:
\binom{n+1}{k+1}=\frac{(n+1)!}{(k+1)!(n-k)!}=\frac{n+1}{k+1}\binom{n}{k}.
Isolando \frac{\binom{n}{k}}{k+1} obtemos
\frac{\binom{n}{k}}{k+1}=\frac{1}{n+1}\binom{n+1}{k+1}.

Passo 8

Usando a identidade do passo anterior na soma:
\sum_{k=0}^{n} \frac{\binom{n}{k}}{k+1} =\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^{n}\binom{n+1}{k+1}.
Agora faça a substituição de índice j=k+1. Quando k vai de 0 a n, j vai de 1 a n+1. Então
\sum_{k=0}^{n}\binom{n+1}{k+1}=\sum_{j=1}^{n+1}\binom{n+1}{j}.
Mas a soma de todos os coeficientes binomiais para um dado n+1 é 2^{n+1}, ou seja \sum_{j=0}^{n+1}\binom{n+1}{j}=2^{n+1}. Retirando o termo j=0 (que é \binom{n+1}{0}=1) obtemos
\sum_{j=1}^{n+1}\binom{n+1}{j}=2^{n+1}-1.
Portanto
\sum_{k=0}^{n} \frac{\binom{n}{k}}{k+1}=\frac{1}{n+1}\bigl(2^{n+1}-1\bigr).

Resposta

\displaystyle \sum_{k=0}^{n} k^{2}\binom{n}{k}=n(n+1)2^{n-2}
\displaystyle \sum_{k=0}^{n} \frac{\binom{n}{k}}{k+1}=\frac{2^{n+1}-1}{n+1}

Exercícios relacionados