1. Calcule o valor da soma
S=1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots+n^{3} .

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma
S=1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots+n^{3}.
Informações dadas:
  • A soma é a soma dos cubos dos primeiros n números naturais.
  • O que se quer é uma expressão fechada de S em função de n, sem somatório explícito.

Passo 2

Primeiro vamos testar alguns valores pequenos para tentar adivinhar um padrão (isso é uma boa estratégia antes de provar qualquer fórmula):
\begin{aligned} S\big|_{n=1}&=1^{3}=1=1^{2},\\[4pt] S\big|_{n=2}&=1^{3}+2^{3}=1+8=9=3^{2},\\[4pt] S\big|_{n=3}&=1+8+27=36=6^{2}. \end{aligned}
Repare que 1=1, 9=3^{2} e 36=6^{2}. Os números 1,3,6 são exatamente as somas dos primeiros inteiros: \,1,\;1+2,\;1+2+3. A soma dos primeiros n inteiros é a conhecida fórmula
\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}.
Pelo padrão observado, parece que
S=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^{2}.
Agora vamos provar rigorosamente que essa fórmula é verdadeira para todo n natural.]

Passo 3

Vamos usar prova por indução matemática (método padrão para somatórios):
  • Passo base: para n=1,
S\big|_{n=1}=1^{3}=1=\left(\frac{1\cdot(1+1)}{2}\right)^{2}=\left(\frac{1\cdot2}{2}\right)^{2}=1.
Logo a fórmula vale para n=1.
  • Hipótese de indução: suponha que para algum n\ge1 valha
\sum_{k=1}^{n}k^{3}=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^{2}.
  • Passo indutivo: mostrar que então vale para n+1. Calculamos
\sum_{k=1}^{n+1}k^{3}=\left(\sum_{k=1}^{n}k^{3}\right)+(n+1)^{3}.
Substituindo a hipótese de indução:
\sum_{k=1}^{n+1}k^{3}=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^{2}+(n+1)^{3}.
Fatorando (n+1)^{2} (para facilitar a manipulação):
\begin{aligned} \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^{2}+(n+1)^{3} &= \frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4}+(n+1)^{3}\\[6pt] &= (n+1)^{2}\left(\frac{n^{2}}{4}+(n+1)\right). \end{aligned}
Agora juntamos os termos dentro do parêntese:
\frac{n^{2}}{4}+(n+1)=\frac{n^{2}+4n+4}{4}=\frac{(n+2)^{2}}{4}.
Substituindo de volta:
\sum_{k=1}^{n+1}k^{3}=(n+1)^{2}\cdot\frac{(n+2)^{2}}{4}=\left(\frac{(n+1)(n+2)}{2}\right)^{2}.
Isso mostra que, se a fórmula vale para n, então vale para n+1.
Como a fórmula vale para n=1 (passo base) e o passo indutivo foi feito, por indução a fórmula é verdadeira para todo n\in\mathbb{N}.]

Passo 4

Resumo intuitivo e incentivo: encontramos e provamos que a soma dos cubos dos primeiros n naturais é o quadrado da soma dos primeiros n naturais. É um resultado bonito e muito útil — lembra disso na prova! Vai dar tudo certo, continue firme.

Resposta

S=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^{2}

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