Repare que 1=1, 9=3^{2} e 36=6^{2}. Os números 1,3,6 são exatamente as somas dos primeiros inteiros: \,1,\;1+2,\;1+2+3. A soma dos primeiros n inteiros é a conhecida fórmula
\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}.
Pelo padrão observado, parece que
S=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^{2}.
Agora vamos provar rigorosamente que essa fórmula é verdadeira para todo n natural.]
Passo 3
Vamos usar prova por indução matemática (método padrão para somatórios):
Isso mostra que, se a fórmula vale para n, então vale para n+1.
Como a fórmula vale para n=1 (passo base) e o passo indutivo foi feito, por indução a fórmula é verdadeira para todo n\in\mathbb{N}.]
Passo 4
Resumo intuitivo e incentivo: encontramos e provamos que a soma dos cubos dos primeiros n naturais é o quadrado da soma dos primeiros n naturais. É um resultado bonito e muito útil — lembra disso na prova! Vai dar tudo certo, continue firme.