Prove por indução que para todo n \in \mathbb{N} :
\sum_{k=1}^{n} k=\frac{n(n+1)}{2}
Identifique as regras de inferência usadas na demonstração.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos disponível.
  • Pede-se provar que, para todo n \in \mathbb{N},
\sum_{k=1}^{n} k=\frac{n(n+1)}{2}.
  • Também pede-se identificar as regras de inferência usadas na demonstração.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A soma \sum_{k=1}^{n} k é a soma dos inteiros de 1 até n.
  • A prova deve ser por indução matemática, isto é, devemos mostrar uma base e um passo indutivo que permita concluir que a propriedade vale para todo n.

Passo 2

Definir a propriedade P(n) que será usada na indução.
  • Defino a fórmula proposicional parametrizada por n:
P(n):\qquad \sum_{k=1}^{n} k=\frac{n(n+1)}{2}.
  • Objetivo: provar \forall n\in\mathbb{N}\; P(n).
Vou usar a estrutura padrão da prova por indução: (i) prova da base P(1); (ii) prova do passo indutivo P(n)\Rightarrow P(n+1); (iii) aplicar o princípio da indução para concluir \forall n\,P(n).

Passo 3

Provar a base: P(1).
  • Calculo o lado esquerdo para n=1:
\sum_{k=1}^{1} k = 1.
  • Calculo o lado direito para n=1:
\frac{1(1+1)}{2}=\frac{1\cdot 2}{2}=1.
  • Conclusão: os dois lados são iguais, logo P(1) é verdadeira.
Comentário didático: aqui fiz uma verificação direta por cálculo aritmético simples; esse tipo de passo usa a regra de igualdade (introdução/eliminação de igualdade e cálculo aritmético baseado nos axiomas da aritmética).

Passo 4

Preparar o passo indutivo: assumir a hipótese indutiva.
  • Tome um n\in\mathbb{N} arbitrário e suponha (hipótese indutiva) que P(n) seja verdadeira, isto é, suponha
\sum_{k=1}^{n} k=\frac{n(n+1)}{2}.
  • Aviso didático: esta suposição é temporária — é o que se faz numa prova por implicação (prova condicional). Fizemos uma suposição para deduzir algo subsequente e, depois, retirar a suposição para obter a implicação P(n)\Rightarrow P(n+1).

Passo 5

Expressar a soma até n+1 em função da soma até n.
  • Pela definição da soma finita,
\sum_{k=1}^{n+1} k = \left(\sum_{k=1}^{n} k\right) + (n+1).
  • Comentário: isto é uma propriedade imediata da soma indexada: somar até n+1 é somar até n e depois adicionar o termo k=n+1.

Passo 6

Usar a hipótese indutiva (substituição) para substituir a soma \sum_{k=1}^{n} k.
  • Pela hipótese indutiva, \sum_{k=1}^{n} k=\dfrac{n(n+1)}{2}. Substituo na igualdade do Passo 5:
\sum_{k=1}^{n+1} k = \frac{n(n+1)}{2} + (n+1).
  • Regra usada aqui: substituição por igualdade (às vezes chamada de regra de substituição ou princípio de Leibniz): se a=b então em qualquer expressão onde aparece a pode-se substituir por b.

Passo 7

Fazer a manipulação algébrica para obter a forma desejada.
  • Parto da expressão obtida:
\frac{n(n+1)}{2} + (n+1).
  • Coloco em evidência o fator (n+1):
\frac{n(n+1)}{2} + (n+1) = (n+1)\left(\frac{n}{2} + 1\right).
  • Somo as frações dentro do parêntese:
\frac{n}{2} + 1 = \frac{n}{2} + \frac{2}{2} = \frac{n+2}{2}.
  • Logo
(n+1)\left(\frac{n+2}{2}\right) = \frac{(n+1)(n+2)}{2}.
  • Observação: n+2=(n+1)+1, portanto posso escrever
\frac{(n+1)(n+2)}{2}=\frac{(n+1)\bigl((n+1)+1\bigr)}{2}.

Passo 8

Concluir o passo indutivo: P(n)\Rightarrow P(n+1).
  • A partir do Passo 6 e Passo 7 obtivemos
\sum_{k=1}^{n+1} k = \frac{(n+1)\bigl((n+1)+1\bigr)}{2},
ou seja, P(n+1) é verdadeira sob a hipótese P(n).
  • Portanto, para o n arbitrário escolhido, a implicação P(n)\Rightarrow P(n+1) foi demonstrada.
  • Regra lógica utilizada: prova condicional (implication introduction). Assumiu-se P(n) e a partir disso deduziu-se P(n+1); então conclui-se P(n)\rightarrow P(n+1).

Passo 9

Aplicar o princípio da indução matemática e concluir para todo n.
  • Tendo provado (i) P(1) (Passo 3) e (ii) \forall n\,(P(n)\Rightarrow P(n+1)) (pela arbitrariedade de n no Passo 8 podemos generalizar para todo n), aplica-se o princípio da indução matemática para concluir
\forall n\in\mathbb{N}\; P(n),
isto é,
\forall n\in\mathbb{N}\; \left(\sum_{k=1}^{n} k=\frac{n(n+1)}{2}\right).
  • Comentário didático: o princípio da indução é a regra que permite, a partir da base e do passo indutivo (a implicação para um n arbitrário), deduzir que a propriedade vale para todos os naturais. Em lógica formal, essa é uma regra/axioma aceita sobre os números naturais.

Passo 10

Resumo das regras de inferência e operações usadas na prova e onde foram aplicadas.
  • Definição/propriedade de soma indexada: usada no Passo 5 para escrever \sum_{k=1}^{n+1}k=\sum_{k=1}^n k+(n+1).
  • Verificação direta / cálculo aritmético: usada no Passo 3 para mostrar P(1).
  • Assunção temporária (técnica de prova condicional): no Passo 4 supôs-se P(n) para derivar P(n+1).
  • Substituição por igualdade (princípio de Leibniz): no Passo 6 substituiu-se \sum_{k=1}^n k por \dfrac{n(n+1)}{2}.
  • Manipulação algébrica / propriedades da aritmética (fatoração, soma de frações): no Passo 7 para transformar a expressão e obter a forma desejada.
  • Introdução da implicação (conditional proof): ao retirar a suposição e concluir P(n)\Rightarrow P(n+1) no Passo 8.
  • Generalização universal: como n era arbitrário, generalizou-se a implicação para \forall n\,(P(n)\Rightarrow P(n+1)).
  • Princípio da indução matemática: a partir de P(1) e de \forall n\,(P(n)\Rightarrow P(n+1)) concluiu-se \forall n\,P(n).

Resposta

\displaystyle \forall n\in\mathbb{N}:\quad \sum_{k=1}^{n} k=\frac{n(n+1)}{2}.
Regras de inferência usadas: definição da soma indexada; verificação direta (cálculo aritmético); assunção temporária para prova condicional; substituição por igualdade (Leibniz); manipulação algébrica; introdução da implicação (conditional proof); generalização universal; princípio da indução matemática.

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