Prove, indutivamente, que
Onde
.
Passo 1
O enunciado pede para provar, para quaisquer
e todo
, a igualdade
Informações dadas:
- As variáveis
e são números reais. - O expoente
é um inteiro não negativo ( ). - A notação
aparece no enunciado; será usada a definição padrão
onde
denota fatorial:
e
.
O objetivo é provar que a igualdade vale para todo
.
Passo 2
Explicando o método que será usado (princípio da indução, de maneira bem clara): para provar uma afirmação
para todo inteiro
via indução faz-se duas etapas:
- Base da indução: provar que
(ou ) é verdadeira. - Passo indutivo: assumir que
é verdadeira para um arbitrário (hipótese de indução) e, a partir disso, provar que é verdadeira.
Se ambas as etapas são feitas corretamente, então
vale para todo
.
Passo 3
Base da indução:
.
Calcular o lado esquerdo: por definição
.
Calcular o lado direito:
Usando
e
, obtemos que o lado direito é
.
Portanto a igualdade é verdadeira para
.
Passo 4
Indução: hipótese de indução. Suponha que a igualdade seja verdadeira para um certo
; isto é, suponha que
A partir desta hipótese, vamos provar a igualdade para
.
Passo 5
Começamos calculando
escrevendo-o como
e substituindo a soma dada pela hipótese:
Agora distribuímos o produto
pela soma (propriedade distributiva):
Simplificando as potências
e
, obtemos
Passo 6
Vamos reindexar a segunda soma para poder combinar termos com a primeira. Na segunda soma faça a troca de índice
. Quando
vai de
a
,
vai de
a
. Substituindo
na segunda soma:
Renomeando
novamente para
(apenas por notação), obtemos
Passo 7
Agora observe que ambas somas têm termos do tipo
; podemos juntá-las em uma única soma de
até
, tomando cuidado com os extremos:
- Para
só existe o termo da primeira soma, que é . - Para
só existe o termo da segunda soma, que é . - Para
existem os dois termos e eles se somam.
Portanto
Passo 8
Aplicamos a identidade de Pascal (que será demonstrada a seguir): para
vale
Usando essa identidade e lembrando que
e
, obtemos
Isto mostra que, sob a hipótese de indução, a fórmula vale para
.
Passo 9
Prova da identidade de Pascal (passo auxiliar, bem didático). Para
podemos usar a definição factorial:
Colocando em denominador comum
e simplificando:
Mas
. Assim a identidade está provada. (Para
ou
a identidade também é consistente se interpretarmos
e
, e os extremos já foram tratados separadamente acima.)
Passo 10
Conclusão por indução: mostramos a base
e provamos que, se a fórmula vale para
, então vale para
. Pelo princípio da indução matemática, a igualdade
vale para todo inteiro
, para quaisquer
.