Prove, indutivamente, que
(a+b)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} \cdot a^{n-k} \cdot b^{k}
Onde a, b \in \mathbb{R}, n \in \mathbb{Z}_{\geq 0}.

Passo 1

O enunciado pede para provar, para quaisquer a,b\in\mathbb{R} e todo n\in\mathbb{Z}_{\geq 0}, a igualdade
(a+b)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\cdot a^{n-k}\cdot b^{k}.
Informações dadas:
  • As variáveis a e b são números reais.
  • O expoente n é um inteiro não negativo ( n=0,1,2,\dots).
  • A notação \binom{n}{k} aparece no enunciado; será usada a definição padrão
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! denota fatorial: n!=n\cdot(n-1)\cdots 2\cdot1 e 0!=1.
O objetivo é provar que a igualdade vale para todo n\geq0.

Passo 2

Explicando o método que será usado (princípio da indução, de maneira bem clara): para provar uma afirmação P(n) para todo inteiro n\geq0 via indução faz-se duas etapas:
  1. Base da indução: provar que P(0) (ou P(1)) é verdadeira.
  2. Passo indutivo: assumir que P(n) é verdadeira para um n arbitrário (hipótese de indução) e, a partir disso, provar que P(n+1) é verdadeira.
Se ambas as etapas são feitas corretamente, então P(n) vale para todo n\geq0.

Passo 3

Base da indução: n=0.
Calcular o lado esquerdo: por definição (a+b)^{0}=1.
Calcular o lado direito:
\sum_{k=0}^{0}\binom{0}{k}\cdot a^{0-k}\cdot b^{k}=\binom{0}{0}\cdot a^{0}\cdot b^{0}.
Usando \binom{0}{0}=1 e a^{0}=b^{0}=1, obtemos que o lado direito é 1.
Portanto a igualdade é verdadeira para n=0.

Passo 4

Indução: hipótese de indução. Suponha que a igualdade seja verdadeira para um certo n\geq0; isto é, suponha que
(a+b)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\cdot a^{n-k}\cdot b^{k}.
A partir desta hipótese, vamos provar a igualdade para n+1.

Passo 5

Começamos calculando (a+b)^{n+1} escrevendo-o como (a+b)\cdot (a+b)^{n} e substituindo a soma dada pela hipótese:
(a+b)^{n+1}=(a+b)\cdot (a+b)^{n}=(a+b)\cdot\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\cdot a^{n-k}\cdot b^{k}.
Agora distribuímos o produto (a+b) pela soma (propriedade distributiva):
(a+b)^{n+1}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\cdot a\cdot a^{n-k}\cdot b^{k} \;+\; \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\cdot b\cdot a^{n-k}\cdot b^{k}.
Simplificando as potências a\cdot a^{n-k}=a^{n+1-k} e b\cdot b^{k}=b^{k+1}, obtemos
(a+b)^{n+1}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\cdot a^{n+1-k}\cdot b^{k} \;+\; \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\cdot a^{n-k}\cdot b^{k+1}.

Passo 6

Vamos reindexar a segunda soma para poder combinar termos com a primeira. Na segunda soma faça a troca de índice j=k+1. Quando k vai de 0 a n, j vai de 1 a n+1. Substituindo k=j-1 na segunda soma:
\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\cdot a^{n-k}\cdot b^{k+1} = \sum_{j=1}^{n+1}\binom{n}{j-1}\cdot a^{n+1-j}\cdot b^{j}.
Renomeando j novamente para k (apenas por notação), obtemos
(a+b)^{n+1}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\cdot a^{n+1-k}\cdot b^{k} \;+\; \sum_{k=1}^{n+1}\binom{n}{k-1}\cdot a^{n+1-k}\cdot b^{k}.

Passo 7

Agora observe que ambas somas têm termos do tipo a^{n+1-k}b^{k}; podemos juntá-las em uma única soma de k=0 até k=n+1, tomando cuidado com os extremos:
  • Para k=0 só existe o termo da primeira soma, que é \binom{n}{0}\cdot a^{n+1}\cdot b^{0}.
  • Para k=n+1 só existe o termo da segunda soma, que é \binom{n}{n}\cdot a^{0}\cdot b^{n+1}.
  • Para 1\le k\le n existem os dois termos e eles se somam.
Portanto
(a+b)^{n+1}=\binom{n}{0}a^{n+1}+\sum_{k=1}^{n}\Big(\binom{n}{k}+\binom{n}{k-1}\Big)\cdot a^{n+1-k}b^{k}+\binom{n}{n}b^{n+1}.

Passo 8

Aplicamos a identidade de Pascal (que será demonstrada a seguir): para 1\le k\le n vale
\binom{n}{k}+\binom{n}{k-1}=\binom{n+1}{k}.
Usando essa identidade e lembrando que \binom{n}{0}=\binom{n+1}{0}=1 e \binom{n}{n}=\binom{n+1}{n+1}=1, obtemos
(a+b)^{n+1}=\sum_{k=0}^{n+1}\binom{n+1}{k}\cdot a^{n+1-k}\cdot b^{k}.
Isto mostra que, sob a hipótese de indução, a fórmula vale para n+1.

Passo 9

Prova da identidade de Pascal (passo auxiliar, bem didático). Para 0<k\le n podemos usar a definição factorial:
\binom{n}{k}+\binom{n}{k-1} =\frac{n!}{k!(n-k)!}+\frac{n!}{(k-1)!(n-k+1)!}.
Colocando em denominador comum k!(n-k+1)! e simplificando:
\frac{n!(n-k+1)}{k!(n-k+1)!}+\frac{n!\,k}{k!(n-k+1)!} =\frac{n!((n-k+1)+k)}{k!(n-k+1)!} =\frac{n!(n+1)}{k!(n-k+1)!}.
Mas \dfrac{n!(n+1)}{k!(n-k+1)!}=\dfrac{(n+1)!}{k!(n+1-k)!}=\binom{n+1}{k}. Assim a identidade está provada. (Para k=0 ou k=n+1 a identidade também é consistente se interpretarmos \binom{n}{-1}=0 e \binom{n}{n+1}=0, e os extremos já foram tratados separadamente acima.)

Passo 10

Conclusão por indução: mostramos a base n=0 e provamos que, se a fórmula vale para n, então vale para n+1. Pelo princípio da indução matemática, a igualdade
(a+b)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\cdot a^{n-k}\cdot b^{k}
vale para todo inteiro n\geq0, para quaisquer a,b\in\mathbb{R}.

Resposta

(a+b)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\cdot a^{n-k}\cdot b^{k}