Prove que a integral converge para o valor indicado.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que integral-infty^infty cos x(x^2+1)^2,dx=pie. O conteúdo principal aqui é usar integração no plano complexo (teorema dos resíduos) e aplicar o lema de Jordan para que a parte do semicírculo vá a zero.

Passo 2

A gente começa considerando a integral complexa
I(R)=integral-R^Re^iz(z^2+1)^2,dz,
que para Rtoinfty dará, pelo teorema de Jordan, a integral na reta real de e^ix/(x^2+1)^2. A parte no semicírculo de raio R no semiplano superior some quando Rtoinfty porque e^iz=e^i(x+iy)=e^ixe^-y decai exponencialmente.

Passo 3

Vamos fechar o contorno com um semicírculo CR no semiplano superior. Pelo teorema dos resíduos,
integral-R^Re^iz(z^2+1)^2,dz+integralCRe^iz(z^2+1)^2,dz=2pi isumResl(tfrace^iz(z^2+1)^2,;polos no interiorr)
Levando Rtoinfty, a integral sobre CR vai a zero (lema de Jordan) e ficamos com
integral-infty^inftye^ix(x^2+1)^2,dx=2pi i;Resl(tfrace^iz(z^2+1)^2,;z=ir)

Passo 4

O único polo no semiplano superior é z=i, de ordem 2. Para calcular o resíduo, usamos a fórmula para polo duplo:
Resl(f,z=ir)=limzto iddzl[(z-i)^2e^iz(z^2+1)^2r]
Como (z^2+1)^2=(z-i)^2(z+i)^2, isso simplifica para
Res=limzto iddze^iz(z+i)^2
Derivando e avaliando em z=i
Res= rac-i2e

Passo 5

Logo
integral-infty^inftye^ix(x^2+1)^2,dx=2pi icdotl(-tfraci2er)=pie
Como cos x é a parte real de e^ix, concluímos que
integral-infty^inftycos x(x^2+1)^2,dx=Rel(tfracpier)=pie

Resposta

pie

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