Prove que a integral converge para o valor indicado.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
. O conteúdo principal aqui é usar integração no plano complexo (teorema dos resíduos) e aplicar o lema de Jordan para que a parte do semicírculo vá a zero.
Passo 2
A gente começa considerando a integral complexa
que para
dará, pelo teorema de Jordan, a integral na reta real de
. A parte no semicírculo de raio
no semiplano superior some quando
porque
decai exponencialmente.
Passo 3
Vamos fechar o contorno com um semicírculo
no semiplano superior. Pelo teorema dos resíduos,
Levando
, a integral sobre
vai a zero (lema de Jordan) e ficamos com
Passo 4
O único polo no semiplano superior é
, de ordem 2. Para calcular o resíduo, usamos a fórmula para polo duplo:
Como
, isso simplifica para
Derivando e avaliando em
dá
Passo 5
Logo
Como
é a parte real de
, concluímos que