Considere os conjuntos
A=z in C mid Re(z)=Im(z) e B=z in C mid Im(z) >= 0 e |z|=1
Determine as imagens de A e B pelas funções a seguir.
f(z)=z+2+j

Passo 1

Temos os conjuntos A = z in C mid Re(z) = Im(z) e B = z in C mid Im(z) >= 0 e |z| = 1 e a função f(z) = z + 2 + i. O objetivo é achar f(A) e f(B). Geometricamente, f desloca cada ponto em +2 no eixo real e +1 no eixo imaginário.

Passo 2

Para z in A, escrevemos z = x + i x. Então:
f(z) = z + 2 + i = (x + i x) + 2 + i = (x + 2) + i(x + 1)
Chamando w = u + iv = f(z), temos u = x + 2 e v = x + 1. Logo:
v = u - 1
Portanto:
f(A) = w in C mid Im(w) = Re(w) - 1

Passo 3

Para z in B, temos |z| = 1 e Im(z) >= 0. A imagem w = f(z) = z + (2 + i) implica:
z = w - (2 + i),
logo
|w - (2 + i)| = 1
Além disso, Im(w) = Im(z) + 1 >= 1. Concluímos:
f(B) = w in C mid |w - (2 + i)| = 1 e Im(w) >= 1

Resposta

f(A) = w in C mid Im(w) = Re(w) - 1 e f(B) = w in C mid |w - (2 + i)| = 1 e Im(w) >= 1.

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