Prove que:
A interseção arbitrária de fechados é fechada.
A interseção arbitrária de fechados é fechada.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos é dado.
- Pede-se provar uma propriedade sobre conjuntos fechados: que a interseção arbitrária (isto é, possivelmente infinita, indexada por um conjunto qualquer) de conjuntos fechados é um conjunto fechado.
- Informação dada: existe uma família de conjuntos fechados; denotemos essa família por
, onde é um conjunto de índices arbitrário (pode ser finito, infinito, contável, não contável etc.). Cada é um subconjunto de um espaço (por exemplo um espaço topológico ou um espaço métrico). - O objetivo explícito: mostrar que
é fechado.
Passo 2
Lembrar a definição usada e uma ideia-chave que vamos aplicar.
- Definição prática de conjunto fechado que usaremos: um subconjunto
é fechado se e somente se o seu complemento é um conjunto aberto. - Ideia-chave (lei de De Morgan): a complementação transforma interseção em união. Vamos usar essa lei para passar da interseção dos
para a união dos complementos . Depois mostrarmos que essa união é aberta porque é união (arbitrária) de conjuntos abertos.
Passo 3
Escrever e justificar a lei de De Morgan que vamos usar.
- A fórmula relevante é
- Justificativa (razão lógica, passo a passo): um ponto
pertence ao lado esquerdo se e só se não pertence à interseção, isto é, se e somente se existe algum índice tal que . Essa última condição é exatamente a condição de pertencer à união . Portanto a igualdade de conjuntos acima vale.
Passo 4
Usar a hipótese de que cada
é fechado para concluir que cada complemento é aberto.
- Pela definição de fechado, para cada
temos que é um conjunto aberto.
Passo 5
Mostrar que a união arbitrária de conjuntos abertos é aberta.
- Seja
uma família arbitrária de conjuntos abertos em e considere . - Tomemos um ponto
. Então, por definição de união, existe algum índice tal que . Como é aberto, existe uma vizinhança (ou bola, no caso métrico) de contida em . Essa vizinhança fica portanto contida em . Como isso vale para todo ponto , concluímos que é aberto. - Observação didática: neste argumento não usamos que a família seja finita; a mesma ideia funciona para união arbitrária.
Passo 6
Aplicar tudo junto para obter a conclusão desejada.
- Começamos com
onde cada é fechado. - Pelos passos anteriores, cada
é aberto. - Pela igualdade de De Morgan do Passo 3,
- Pela propriedade do Passo 5, a união à direita é aberta (união de abertos).
- Portanto
é aberto; pela definição de fechado, isso implica que é fechado.
Passo 7
Comentário adicional (prova alternativa em espaços métricos, para reforçar a intuição).
- Em um espaço métrico existe outra caracterização: um conjunto é fechado se contém todos os limites de sequências convergentes que estão inteiramente no conjunto.
- Se
é uma sequência com para todo e , então para cada a sequência está em e, como é fechado, . Isso vale para todo , logo . Assim a interseção contém todos os seus limites sequenciais e é fechada. (Essa prova exige a estrutura métrica e a caracterização sequencial de fechado.)
Resposta
A interseção arbitrária de conjuntos fechados é fechada.