Prove que:
A interseção arbitrária de fechados é fechada.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado.
  • Pede-se provar uma propriedade sobre conjuntos fechados: que a interseção arbitrária (isto é, possivelmente infinita, indexada por um conjunto qualquer) de conjuntos fechados é um conjunto fechado.
  • Informação dada: existe uma família de conjuntos fechados; denotemos essa família por \{F_i\}_{i\in I}, onde I é um conjunto de índices arbitrário (pode ser finito, infinito, contável, não contável etc.). Cada F_i é um subconjunto de um espaço X (por exemplo um espaço topológico ou um espaço métrico).
  • O objetivo explícito: mostrar que \bigcap_{i\in I} F_i é fechado.

Passo 2

Lembrar a definição usada e uma ideia-chave que vamos aplicar.
  • Definição prática de conjunto fechado que usaremos: um subconjunto A\subset X é fechado se e somente se o seu complemento X\setminus A é um conjunto aberto.
  • Ideia-chave (lei de De Morgan): a complementação transforma interseção em união. Vamos usar essa lei para passar da interseção dos F_i para a união dos complementos X\setminus F_i. Depois mostrarmos que essa união é aberta porque é união (arbitrária) de conjuntos abertos.

Passo 3

Escrever e justificar a lei de De Morgan que vamos usar.
  • A fórmula relevante é
X\setminus\biggl(\bigcap_{i\in I} F_i\biggr) \;=\; \bigcup_{i\in I} \bigl(X\setminus F_i\bigr).
  • Justificativa (razão lógica, passo a passo): um ponto x\in X pertence ao lado esquerdo se e só se não pertence à interseção, isto é, se e somente se existe algum índice j\in I tal que x\notin F_j. Essa última condição é exatamente a condição de x pertencer à união \bigcup_{i\in I} (X\setminus F_i). Portanto a igualdade de conjuntos acima vale.

Passo 4

Usar a hipótese de que cada F_i é fechado para concluir que cada complemento é aberto.
  • Pela definição de fechado, para cada i\in I temos que X\setminus F_i é um conjunto aberto.

Passo 5

Mostrar que a união arbitrária de conjuntos abertos é aberta.
  • Seja \{U_i\}_{i\in I} uma família arbitrária de conjuntos abertos em X e considere U=\bigcup_{i\in I} U_i.
  • Tomemos um ponto x\in U. Então, por definição de união, existe algum índice j\in I tal que x\in U_j. Como U_j é aberto, existe uma vizinhança (ou bola, no caso métrico) de x contida em U_j. Essa vizinhança fica portanto contida em U. Como isso vale para todo ponto x\in U, concluímos que U é aberto.
  • Observação didática: neste argumento não usamos que a família seja finita; a mesma ideia funciona para união arbitrária.

Passo 6

Aplicar tudo junto para obter a conclusão desejada.
  • Começamos com \{F_i\}_{i\in I} onde cada F_i é fechado.
  • Pelos passos anteriores, cada X\setminus F_i é aberto.
  • Pela igualdade de De Morgan do Passo 3,
X\setminus\biggl(\bigcap_{i\in I} F_i\biggr) \;=\; \bigcup_{i\in I} \bigl(X\setminus F_i\bigr).
  • Pela propriedade do Passo 5, a união à direita é aberta (união de abertos).
  • Portanto X\setminus\bigl(\bigcap_{i\in I} F_i\bigr) é aberto; pela definição de fechado, isso implica que \bigcap_{i\in I} F_i é fechado.

Passo 7

Comentário adicional (prova alternativa em espaços métricos, para reforçar a intuição).
  • Em um espaço métrico existe outra caracterização: um conjunto é fechado se contém todos os limites de sequências convergentes que estão inteiramente no conjunto.
  • Se x_n é uma sequência com x_n\in\bigcap_{i\in I} F_i para todo n e x_n\to x, então para cada i a sequência x_n está em F_i e, como F_i é fechado, x\in F_i. Isso vale para todo i, logo x\in\bigcap_{i\in I} F_i. Assim a interseção contém todos os seus limites sequenciais e é fechada. (Essa prova exige a estrutura métrica e a caracterização sequencial de fechado.)

Resposta

A interseção arbitrária de conjuntos fechados é fechada.

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