Determine interior, fecho e fronteira dos conjuntos abaixo em \mathbb{R}^{2} : B=\left\{(x, y): x^{2}+y^{2} \leq 4\right\}
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
B=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : x^{2}+y^{2}\le 4\}
e pede para determinar:
o interior de B;
o fecho (fecho topológico, closure) de B;
a fronteira de B.
Informações relevantes fornecidas:
B é o disco centrado na origem com raio 2, incluindo a circunferência de raio 2 (porque o sinal é \le).
Não há mais hipóteses escondidas: trabalha-se em \mathbb{R}^2 com a métrica usual (norma euclidiana).
Passo 2
Vou lembrar as definições formais (com explicação intuitiva, para ninguém se perder):
Interior: o ponto p\in\mathbb{R}^2 pertence ao interior de um conjunto A se existe uma bola aberta centrada em p que está totalmente contida em A. Em símbolos: p\in\operatorname{int}(A) se existe \varepsilon>0 tal que \{q\in\mathbb{R}^2:\|q-p\|<\varepsilon\}\subset A.
Intuição: um ponto do interior é “bem por dentro” do conjunto; dá para andar um pouco em qualquer direção sem sair.
Fecho (closure): é o menor conjunto fechado que contém A; equivalentemente, é A junto com todos os seus pontos-limite. Em símbolos: \overline{A} é o conjunto de todos os pontos p tais que toda bola centrada em p intersecta A. Intuitivamente, inclui o conjunto mais suas bordas que são limites de sequências em A.
Fronteira (boundary): é a diferença entre o fecho e o interior: \partial A=\overline{A}\setminus\operatorname{int}(A). Intuitivamente, pontos em que qualquer bola centrada no ponto contém pontos de A e pontos do complemento de A.
Exemplo rápido (para fixar): para o disco aberto de raio 1, D=\{(x,y): x^2+y^2<1\}, tem-se \operatorname{int}(D)=D, \overline{D}=\{x^2+y^2\le 1\}, \partial D=\{x^2+y^2=1\}.
Passo 3
Determinar o interior de B.
Seja p=(x_0,y_0) tal que \|p\|=\sqrt{x_0^2+y_0^2}<2. Defina
r:=2-\|p\|>0.
Considere a bola aberta B(p,r)=\{q\in\mathbb{R}^2:\|q-p\|<r\}. Para qualquer q\in B(p,r) vale, pela desigualdade triangular,
Agora mostro que nenhum ponto com \|p\|=2 pertence ao interior. Seja p com \|p\|=2 e tome qualquer \varepsilon>0. No sentido radial há pontos q com \|q-p\|<\varepsilon e \|q\|>2 (basta escolher q deslocando p na direção radial para fora). Portanto qualquer bola centrada em p contém pontos fora de B, então p\notin\operatorname{int}(B).
Concluindo,
\operatorname{int}(B)=\{(x,y): x^{2}+y^{2}<4\}.
Passo 4
Determinar o fecho de B.
Uma maneira direta é mostrar que o complemento de B é aberto, o que implica que B é fechado e, portanto, igual ao seu fecho.
Seja p\notin B. Então \|p\|=\sqrt{x^2+y^2}>2. Defina
\rho:=\|p\|-2>0.
Para qualquer q com \|q-p\|<\rho temos, pela desigualdade triangular reversa,
Logo \|q\|>2, isto é, q\notin B. Assim a bola B(p,\rho) está contida no complemento de B, mostrando que o complemento de B é aberto. Portanto B é fechado, logo \overline{B}=B.
Outra justificativa (equivalente): toda sequência em B que converge tem limite com norma \le 2, logo o limite está em B; isso mostra que B contém todos os seus pontos-limite.
Já vimos que \overline{B}=\{(x,y): x^{2}+y^{2}\le 4\} e \operatorname{int}(B)=\{(x,y): x^{2}+y^{2}<4\}. A diferença entre esses conjuntos é exatamente a circunferência de raio 2:
\partial B=\{(x,y): x^{2}+y^{2}=4\}.
Também se pode verificar diretamente: se \|p\|=2, então qualquer bola centrada em p contém pontos com \|q\|<2 e pontos com \|q\|>2, ou seja, intersecta B e o complemento de B, caracterizando ponto de fronteira. Se \|p\|<2 ou \|p\|>2 isso não acontece, como já mostrado nos passos anteriores.