- Mostre que a reta
tem interior vazio em
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a reta
tem interior vazio em
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- O conjunto em questão é
, ou seja, a reta -axis (todos os pontos com segunda coordenada zero). - O espaço ambiente é
com a topologia usual (métrica euclidiana).
Passo 2
Vamos lembrar a definição que vamos usar e entendê-la bem, sem pressa.
Definição de ponto interior: um ponto é um ponto interior de
se existe um raio
tal que a bola aberta centrada em
e de raio
está contida em
. Escrevendo:
Definição de ponto interior: um ponto
e
é interior a
quando existe
com
. O interior de
é o conjunto de todos esses pontos.
Definição de distância euclidiana: para e
,
Definição de distância euclidiana: para
Passo 3
Estratégia prática: mostrar que nenhum ponto da reta é ponto interior. Ou seja, pegar um ponto genérico da reta e provar que qualquer bola centrada nele contém pontos fora da reta. Se conseguirmos isso para um ponto arbitrário, então não há pontos interiores e o interior do conjunto é vazio.
Passo 4
Seja
um ponto arbitrário da reta. Podemos escrever
para algum
. Agora considere qualquer raio
. Queremos mostrar que a bola
não está contida na reta.
Passo 5
Construa um ponto
que esteja dentro da bola mas não pertença à reta. Uma escolha simples e natural é
Calcule a distância entre
e
usando a fórmula euclidiana:
Como
, temos
. Mas a segunda coordenada de
é
, logo
. Então cada bola
centrada em
contém pontos que não pertencem à reta.
Passo 6
Como
foi arbitrário, concluímos que não existe nenhum raio
tal que
. Portanto
não é um ponto interior do conjunto. Como
foi um ponto arbitrário da reta, nenhum ponto da reta é interior.
Passo 7
Conclusão final: o conjunto
não tem pontos interiores, ou seja, seu interior é o conjunto vazio.