1. Mostre que a reta \{(x, y): y=0\} tem interior vazio em \mathbb{R}^{2}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a reta \{(x,y): y=0\} tem interior vazio em \mathbb{R}^{2}.
Informações dadas:
  • O conjunto em questão é \{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}: y=0\}, ou seja, a reta x-axis (todos os pontos com segunda coordenada zero).
  • O espaço ambiente é \mathbb{R}^{2} com a topologia usual (métrica euclidiana).

Passo 2

Vamos lembrar a definição que vamos usar e entendê-la bem, sem pressa.
Definição de ponto interior: um ponto p\in A\subset\mathbb{R}^{2} é um ponto interior de A se existe um raio r>0 tal que a bola aberta centrada em p e de raio r está contida em A. Escrevendo:
B(p,r)=\{q\in\mathbb{R}^{2}:\|q-p\|<r\},
e p é interior a A quando existe r>0 com B(p,r)\subset A. O interior de A é o conjunto de todos esses pontos.
Definição de distância euclidiana: para p=(x_{1},y_{1}) e q=(x_{2},y_{2}),
\|q-p\|=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}.

Passo 3

Estratégia prática: mostrar que nenhum ponto da reta é ponto interior. Ou seja, pegar um ponto genérico da reta e provar que qualquer bola centrada nele contém pontos fora da reta. Se conseguirmos isso para um ponto arbitrário, então não há pontos interiores e o interior do conjunto é vazio.

Passo 4

Seja p um ponto arbitrário da reta. Podemos escrever p=(a,0) para algum a\in\mathbb{R}. Agora considere qualquer raio r>0. Queremos mostrar que a bola B(p,r) não está contida na reta.

Passo 5

Construa um ponto q que esteja dentro da bola mas não pertença à reta. Uma escolha simples e natural é
q=(a,\tfrac{r}{2}).
Calcule a distância entre p e q usando a fórmula euclidiana:
\|q-p\|=\sqrt{(a-a)^{2}\!+\!\Big(\tfrac{r}{2}-0\Big)^{2}}=\sqrt{0+\tfrac{r^{2}}{4}}=\tfrac{r}{2}.
Como \tfrac{r}{2}<r, temos q\in B(p,r). Mas a segunda coordenada de q é \tfrac{r}{2}\neq 0, logo q\notin\{(x,y):y=0\}. Então cada bola B(p,r) centrada em p contém pontos que não pertencem à reta.

Passo 6

Como r>0 foi arbitrário, concluímos que não existe nenhum raio r>0 tal que B(p,r)\subset\{(x,y):y=0\}. Portanto p não é um ponto interior do conjunto. Como p foi um ponto arbitrário da reta, nenhum ponto da reta é interior.

Passo 7

Conclusão final: o conjunto \{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}:y=0\} não tem pontos interiores, ou seja, seu interior é o conjunto vazio.

Resposta

\operatorname{int}\big(\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}:y=0\}\big)=\varnothing

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