Prove que a Lagrangiana abaixo,
gera a equação de movimento de um oscilador harmônico amortecido. Mostre que a transformação
elimina a dependêcia temporal explícita da Lagrangiana. A partir da Lagrangiana sem dependência temporal, obtenha a expressão do Hamiltoniano correspondente.
Passo 1
O enunciado nos dá a Lagrangiana com dependência explícita em
:
e pede (i) provar que ela gera a equação de um oscilador amortecido, (ii) mostrar que a transformação
elimina essa dependência temporal explícita, e (iii) obter o Hamiltoniano da nova Lagrangiana independente de
. Vamos usar a equação de Euler–Lagrange, a substituição direta e, em seguida, a definição de momento canônico e de Hamiltoniano.
Passo 2
Aplicamos Euler–Lagrange em
:
Como
e
a equação de Euler–Lagrange vira
que é, de fato, o oscilador harmônico amortecido.
Passo 3
Fazemos a mudança de variável
Calculamos
:
Substituindo em
:
Passo 4
Expandindo o quadrado:
O termo
é uma derivada total:
logo não afeta as equações de movimento e pode ser desprezado. Definimos então a Lagrangiana equivalente, sem dependência explícita em
:
Passo 5
Do
, obtemos o momento canônico
E o Hamiltoniano
Resposta
A Lagrangiana dada gera a equação
.
Após , a Lagrangiana torna-se
Após
sem dependência explícita em
, e o Hamiltoniano correspondente é