Considere um satélite de massa
em movimento restrito a um plano que passa pelo centro da Terra. considerando que o potencial gravitacional entre o satélite e a Terra seja
, determine: (a) o Hamiltoniano do sistema, (b) as equações de movimento de Hamilton associadas.
Passo 1
O enunciado nos dá um satélite de massa
se movendo em um plano que passa pelo centro da Terra, sob ação do potencial gravitacional
O objetivo é encontrar o Hamiltoniano do sistema e as equações de Hamilton associadas. Vamos usar o formalismo lagrangiano em coordenadas polares e depois aplicar a transformação de Legendre para obter o Hamiltoniano.
Passo 2
Escrevemos a lagrangiana em coordenadas polares
. A energia cinética é
e o potencial é
. Assim,
Passo 3
Definimos os momentos canônicos conjugados:
Passo 4
O Hamiltoniano é dado pela transformação de Legendre
Substituímos
e
em todos os termos.
Passo 5
Após a substituição, obtemos
Passo 6
As equações de Hamilton são
Como
não depende de
, segue
. Calculando cada derivada, temos
Resposta
(a)
(b)