Considere um satélite de massa m em movimento restrito a um plano que passa pelo centro da Terra. considerando que o potencial gravitacional entre o satélite e a Terra seja U=-\frac{G M m}{r}, determine: (a) o Hamiltoniano do sistema, (b) as equações de movimento de Hamilton associadas.

Passo 1

O enunciado nos dá um satélite de massa m se movendo em um plano que passa pelo centro da Terra, sob ação do potencial gravitacional
U = -\frac{G M m}{r}.
O objetivo é encontrar o Hamiltoniano do sistema e as equações de Hamilton associadas. Vamos usar o formalismo lagrangiano em coordenadas polares e depois aplicar a transformação de Legendre para obter o Hamiltoniano.

Passo 2

Escrevemos a lagrangiana em coordenadas polares (r,\varphi). A energia cinética é
T = \frac{1}{2} m \bigl(\dot r^2 + r^2 \dot\varphi^2\bigr)
e o potencial é U = -\tfrac{G M m}{r}. Assim,
L = T - U = \frac{1}{2} m \bigl(\dot r^2 + r^2 \dot\varphi^2\bigr) + \frac{G M m}{r}.

Passo 3

Definimos os momentos canônicos conjugados:
p_r = \frac{\partial L}{\partial \dot r} = m\,\dot r,
p_\varphi = \frac{\partial L}{\partial \dot\varphi} = m\,r^2\,\dot\varphi.

Passo 4

O Hamiltoniano é dado pela transformação de Legendre
H = p_r\,\dot r + p_\varphi\,\dot\varphi - L.
Substituímos \dot r = p_r/m e \dot\varphi = p_\varphi/(m r^2) em todos os termos.

Passo 5

Após a substituição, obtemos
H = \frac{p_r^2}{2m} + \frac{p_\varphi^2}{2\,m\,r^2} - \frac{G M m}{r}.

Passo 6

As equações de Hamilton são
\dot r = \frac{\partial H}{\partial p_r}, \quad \dot\varphi = \frac{\partial H}{\partial p_\varphi},
\dot p_r = -\frac{\partial H}{\partial r}, \quad \dot p_\varphi = -\frac{\partial H}{\partial \varphi}.
Como H não depende de \varphi, segue \dot p_\varphi=0. Calculando cada derivada, temos
\dot r = \frac{p_r}{m},
\dot\varphi = \frac{p_\varphi}{m\,r^2},
\dot p_r = \frac{p_\varphi^2}{m\,r^3} - \frac{G M m}{r^2},
\dot p_\varphi = 0.

Resposta

(a)
H(r,\varphi,p_r,p_\varphi) = \frac{p_r^2}{2m} + \frac{p_\varphi^2}{2\,m\,r^2} - \frac{G M m}{r}.
(b)
\dot r = \frac{p_r}{m}, \quad \dot\varphi = \frac{p_\varphi}{m\,r^2}, \quad \dot p_r = \frac{p_\varphi^2}{m\,r^3} - \frac{G M m}{r^2}, \quad \dot p_\varphi = 0.

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