Seja f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} uma função contínua tal que, para algum 0<\lambda<1, vale
|f(x)-f(y)| \leq \lambda|x-y| . \forall x, y \in \mathbb{R}
Prove que existe um único x_{0} \in \mathbb{R} tal que f\left(x_{0}\right)=x_{0}.

Passo 1

O enunciado dá uma função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} contínua e uma constante \lambda com 0<\lambda<1 tais que, para todos x,y\in\mathbb{R},
|f(x)-f(y)|\le \lambda |x-y|.
O que se pede: provar que existe um único x_{0}\in\mathbb{R} com f(x_{0})=x_{0} (ou seja, provar existência e unicidade de um ponto fixo).
Informações relevantes dadas:
  • A desigualdade acima diz que f é uma contração global com constante de contração \lambda.
  • Foi dada também a continuidade de f.
  • Os valores \lambda e \mathbb{R} são fixos e válidos para todos os pares x,y.

Passo 2

Estratégia que vou usar (sem resolver ainda): escolher um ponto inicial arbitrário x_{1}\in\mathbb{R} e construir a sequência iterada
x_{n+1}=f(x_n),\qquad n\ge1.
A ideia é mostrar que (x_n) é uma sequência de Cauchy (usando a desigualdade de contração e uma soma geométrica), portanto converge em \mathbb{R} (porque \mathbb{R} é completo). O limite será um ponto fixo; a unicidade vem da própria desigualdade de contração. Antes de aplicar, explico os conceitos usados:
  • O que é uma contração? Significa que a aplicação de f reduz as distâncias entre pontos por um fator no máximo \lambda<1. Isso vai permitir obter uma decaída exponencial das distâncias entre termos consecutivos da sequência iterada.
  • O que é sequência de Cauchy? Uma sequência (x_n) é Cauchy se, para todo \varepsilon>0, existe N tal que para todo m,n\ge N vale |x_m-x_n|<\varepsilon. Em espaços completos (como \mathbb{R}) toda sequência de Cauchy converge.
  • Somatória geométrica essencial: para |\lambda|<1 vale
\sum_{k=n}^{\infty}\lambda^{k}=\frac{\lambda^{n}}{1-\lambda}.
Isto será usado para controlar a cauda das diferenças.

Passo 3

Mostro que as diferenças entre termos consecutivos decaem geometricamente. Defina a sequência x_{n+1}=f(x_n) com x_1 arbitrário. Usando a desigualdade de contração com x=x_n e y=x_{n-1},
|x_{n+1}-x_n| = |f(x_n)-f(x_{n-1})|\le \lambda |x_n-x_{n-1}|.
Aplicando essa desigualdade repetidamente por indução obtemos, para todo n\ge1,
|x_{n+1}-x_n| \le \lambda^{n-1}|x_2-x_1|.
Explicando a indução:
  • Base n=1: é trivialmente |x_2-x_1| \le \lambda^{0}|x_2-x_1|.
  • Passo indutivo: suponha |x_{n}-x_{n-1}| \le \lambda^{n-2}|x_2-x_1|. Então
|x_{n+1}-x_n|\le \lambda |x_n-x_{n-1}| \le \lambda\cdot\lambda^{n-2}|x_2-x_1| = \lambda^{n-1}|x_2-x_1|.
Assim a propriedade vale para todo n.

Passo 4

Agora mostro que (x_n) é Cauchy. Para m>n escrevo a diferença telescópica
|x_m-x_n|\le \sum_{k=n}^{m-1} |x_{k+1}-x_k|.
Usando a estimativa do passo anterior,
|x_m-x_n| \le \sum_{k=n}^{m-1} \lambda^{k-1}|x_2-x_1| = |x_2-x_1|\sum_{k=n}^{m-1}\lambda^{k-1}.
Reindexando a soma para ficar com potências a partir de \lambda^{n-1} ou usando a fórmula da soma geométrica, obtemos
|x_m-x_n| \le |x_2-x_1|\cdot \frac{\lambda^{\,n-1}}{1-\lambda}.
Como 0<\lambda<1, a expressão \dfrac{\lambda^{\,n-1}}{1-\lambda} tende a 0 quando n\to\infty. Portanto, dado qualquer \varepsilon>0, escolhe-se N grande tal que para todo n\ge N temos |x_2-x_1|\cdot \dfrac{\lambda^{\,n-1}}{1-\lambda}<\varepsilon. Isso garante que para todo m>n\ge N vale |x_m-x_n|<\varepsilon. Logo (x_n) é Cauchy.

Passo 5

Como \mathbb{R} é completo, (x_n) converge a algum ponto x^{*}\in\mathbb{R}; isto é,
\lim_{n\to\infty} x_n = x^{*}.
Agora uso a continuidade de f (dada) para passar o limite pelo f. Como x_{n+1}=f(x_n) para todo n, tomando limites em ambos os lados e usando continuidade:
\lim_{n\to\infty} x_{n+1} = \lim_{n\to\infty} f(x_n) = f\!\left(\lim_{n\to\infty} x_n\right) = f(x^{*}).
Mas o lado esquerdo é também \lim_{n\to\infty} x_{n+1} = x^{*}. Portanto
f(x^{*})=x^{*},
ou seja, x^{*} é um ponto fixo de f. Este prova a existência de pelo menos um ponto fixo. (Observação: a construção não depende de uma escolha especial de x_1; começar com qualquer x_1 gera uma sequência que converge ao mesmo ponto fixo — isto pode ser observado pela mesma estimativa de contração.)

Passo 6

Provo agora a unicidade do ponto fixo. Suponha que existam dois pontos fixos u,v\in\mathbb{R} tais que f(u)=u e f(v)=v. Aplicando a desigualdade de contração a u,v,
|u-v| = |f(u)-f(v)| \le \lambda |u-v|.
Como 0<\lambda<1, subtraindo o membro direito obtemos
(1-\lambda)|u-v| \le 0.
Mas (1-\lambda)>0, logo necessariamente |u-v|=0, ou seja u=v. Portanto não podem existir dois pontos fixos distintos: o ponto fixo é único.

Passo 7

Comentário final e intuição: a desigualdade de contração força as iterações a se aproximarem exponencialmente umas das outras, o que torna a sequência iterada Cauchy e garante convergência em \mathbb{R}. A continuidade permite trocar limite e f para concluir que o limite é um ponto fixo. A unicidade vem diretamente do fato de que aplicar f diminui distâncias por fator <1, então dois fixos teriam distância que é ao mesmo tempo igual a e estritamente menor que si própria, impossível salvo se a distância for zero.
Exemplo concreto para fixar a ideia: se f(x)=ax+b com |a|<1, então claramente f satisfaz |f(x)-f(y)|\le |a||x-y|, e o ponto fixo é dado por x_0=\dfrac{b}{1-a}. A prova acima é a generalização desse exemplo linear para qualquer contração contínua em \mathbb{R}.

Resposta

Existe um único x_{0}\in\mathbb{R} tal que f(x_{0})=x_{0}.

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