Seja
uma função contínua tal que, para algum
, vale
Prove que existe um único
tal que
.
Passo 1
O enunciado dá uma função
contínua e uma constante
com
tais que, para todos
,
O que se pede: provar que existe um único
com
(ou seja, provar existência e unicidade de um ponto fixo).
Informações relevantes dadas:
- A desigualdade acima diz que
é uma contração global com constante de contração . - Foi dada também a continuidade de
. - Os valores
e são fixos e válidos para todos os pares .
Passo 2
Estratégia que vou usar (sem resolver ainda): escolher um ponto inicial arbitrário
e construir a sequência iterada
A ideia é mostrar que
é uma sequência de Cauchy (usando a desigualdade de contração e uma soma geométrica), portanto converge em
(porque
é completo). O limite será um ponto fixo; a unicidade vem da própria desigualdade de contração. Antes de aplicar, explico os conceitos usados:
- O que é uma contração? Significa que a aplicação de
reduz as distâncias entre pontos por um fator no máximo . Isso vai permitir obter uma decaída exponencial das distâncias entre termos consecutivos da sequência iterada. - O que é sequência de Cauchy? Uma sequência
é Cauchy se, para todo , existe tal que para todo vale . Em espaços completos (como ) toda sequência de Cauchy converge. - Somatória geométrica essencial: para
vale
Isto será usado para controlar a cauda das diferenças.
Passo 3
Mostro que as diferenças entre termos consecutivos decaem geometricamente. Defina a sequência
com
arbitrário. Usando a desigualdade de contração com
e
,
Aplicando essa desigualdade repetidamente por indução obtemos, para todo
,
Explicando a indução:
- Base
: é trivialmente . - Passo indutivo: suponha
. Então
Assim a propriedade vale para todo
.
Passo 4
Agora mostro que
é Cauchy. Para
escrevo a diferença telescópica
Usando a estimativa do passo anterior,
Reindexando a soma para ficar com potências a partir de
ou usando a fórmula da soma geométrica, obtemos
Como
, a expressão
tende a
quando
. Portanto, dado qualquer
, escolhe-se
grande tal que para todo
temos
. Isso garante que para todo
vale
. Logo
é Cauchy.
Passo 5
Como
é completo,
converge a algum ponto
; isto é,
Agora uso a continuidade de
(dada) para passar o limite pelo
. Como
para todo
, tomando limites em ambos os lados e usando continuidade:
Mas o lado esquerdo é também
. Portanto
ou seja,
é um ponto fixo de
. Este prova a existência de pelo menos um ponto fixo. (Observação: a construção não depende de uma escolha especial de
; começar com qualquer
gera uma sequência que converge ao mesmo ponto fixo — isto pode ser observado pela mesma estimativa de contração.)
Passo 6
Provo agora a unicidade do ponto fixo. Suponha que existam dois pontos fixos
tais que
e
. Aplicando a desigualdade de contração a
,
Como
, subtraindo o membro direito obtemos
Mas
, logo necessariamente
, ou seja
. Portanto não podem existir dois pontos fixos distintos: o ponto fixo é único.
Passo 7
Comentário final e intuição: a desigualdade de contração força as iterações a se aproximarem exponencialmente umas das outras, o que torna a sequência iterada Cauchy e garante convergência em
. A continuidade permite trocar limite e
para concluir que o limite é um ponto fixo. A unicidade vem diretamente do fato de que aplicar
diminui distâncias por fator
, então dois fixos teriam distância que é ao mesmo tempo igual a e estritamente menor que si própria, impossível salvo se a distância for zero.
Exemplo concreto para fixar a ideia: se
com
, então claramente
satisfaz
, e o ponto fixo é dado por
. A prova acima é a generalização desse exemplo linear para qualquer contração contínua em
.
Resposta
Existe um único
tal que
.