Prove que: \left(x^{-2}-y^{-2}\right)\left(x^{2}-y^{2}\right)^{-1}=-(x y)^{-2}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
\left(x^{-2}-y^{-2}\right)\,(x^{2}-y^{2})^{-1} = -(xy)^{-2}.
Vamos usar propriedades de potências, soma de frações e fatoração de diferença de quadrados.

Passo 2

Reescrevemos o numerador x^{-2}-y^{-2} como uma única fração, usando denominador comum x^2y^2:
x^{-2}-y^{-2} = \frac{1}{x^2}-\frac{1}{y^2} = \frac{y^2 - x^2}{x^2y^2}.

Passo 3

Agora fazemos o produto com (x^2 - y^2)^{-1}:
\bigl(x^{-2}-y^{-2}\bigr)\,(x^2-y^2)^{-1} = \frac{y^2 - x^2}{x^2y^2}\;\cdot\;\frac{1}{x^2 - y^2}.
Observamos que y^2 - x^2 = -(x^2 - y^2), logo

Passo 4

\frac{y^2 - x^2}{x^2y^2}\;\cdot\;\frac{1}{x^2 - y^2} = \frac{-(x^2 - y^2)}{x^2y^2}\;\cdot\;\frac{1}{x^2 - y^2} = -\frac{1}{x^2y^2} = -(xy)^{-2}.

Resposta

-(xy)^{-2}.

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