Prove que \left\lfloor(2+\sqrt{3})^{n}\right\rfloor é ímpar para todo n natural, onde \lfloor x\rfloor denota a parte inteira de x.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo n\in\mathbb{N}, a quantidade \lfloor(2+\sqrt{3})^{n}\rfloor é ímpar.
O conteúdo usado será teoria de sequências definidas por raízes de equações quadráticas e prova por indução. Vamos introduzir as quantidades
\alpha = 2+\sqrt{3}, \quad \beta = 2-\sqrt{3},
e observar suas propriedades para relacionar \alpha^n a uma sequência inteira.

Passo 2

Note que \alpha e \beta satisfazem
\alpha + \beta = 4, \quad \alpha\beta = 1,
e definimos a sequência
S_n = \alpha^n + \beta^n.
Pela teoria de equações de segundo grau, (\alpha^n) e (\beta^n) satisfazem a mesma recorrência linear de ordem 2. Subtraindo e somando adequadamente, conclui-se que
S_n = 4\,S_{n-1} - S_{n-2},
com condições iniciais
S_0 = \alpha^0 + \beta^0 = 1 + 1 = 2, \quad S_1 = \alpha + \beta = 4.

Passo 3

Como 2-\sqrt{3} é positivo e menor que 1, ou seja
0 < \beta = 2-\sqrt{3} < 1,
segue que
0 < \beta^n < 1 \quad\text{para todo }n\ge1.
Além disso S_n é soma de potências de \alpha e \beta, logo é inteiro. Então
\alpha^n = S_n - \beta^n
fica entre dois inteiros consecutivos:
S_n - 1 < \alpha^n < S_n.
Dessa forma
\big\lfloor \alpha^n\big\rfloor = S_n - 1.

Passo 4

Mostramos que S_n é sempre par por indução em n.
Base n=0,1:
S_0 = 2 \quad\text{e}\quad S_1 = 4,
ambos pares.
Passo indutivo: suponha S_{k-1} e S_k pares. Então
S_{k+1} = 4\,S_k - S_{k-1}
é diferença de dois números pares, portanto também par.
Isso prova que S_n é par para todo n.

Passo 5

Como S_n é par, escrevemos S_n = 2m para algum m\in\mathbb{Z}. Então
\big\lfloor \alpha^n\big\rfloor = S_n - 1 = 2m - 1,
que é um número ímpar.

Resposta

Portanto, para todo n\in\mathbb{N}, \lfloor(2+\sqrt{3})^n\rfloor é ímpar.

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