Prove que
é ímpar para todo
natural, onde
denota a parte inteira de
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para todo
, a quantidade
é ímpar.
O conteúdo usado será teoria de sequências definidas por raízes de equações quadráticas e prova por indução. Vamos introduzir as quantidades
O conteúdo usado será teoria de sequências definidas por raízes de equações quadráticas e prova por indução. Vamos introduzir as quantidades
e observar suas propriedades para relacionar
a uma sequência inteira.
Passo 2
Note que
e
satisfazem
e definimos a sequência
Pela teoria de equações de segundo grau,
e
satisfazem a mesma recorrência linear de ordem 2. Subtraindo e somando adequadamente, conclui-se que
com condições iniciais
Passo 3
Como
é positivo e menor que 1, ou seja
segue que
Além disso
é soma de potências de
e
, logo é inteiro. Então
fica entre dois inteiros consecutivos:
Dessa forma
Passo 4
Mostramos que
é sempre par por indução em
.
Base :
Base
ambos pares.
Passo indutivo: suponha e
pares. Então
Passo indutivo: suponha
é diferença de dois números pares, portanto também par.
Isso prova que é par para todo
.
Isso prova que
Passo 5
Como
é par, escrevemos
para algum
. Então
que é um número ímpar.
Resposta
Portanto, para todo
,
é ímpar.