Encontre o valor de \sum_{k=0}^{n} C_{n}^{k} 2^{k}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}2^{k}. Esse tipo de soma aparece diretamente na aplicação do Teorema Binomial, que nos permite relacionar somas envolvendo \binom{n}{k} e potências a expansões de forma (x+y)^n.

Passo 2

O Teorema Binomial afirma que, para quaisquer números reais x, y e inteiro n\ge0, vale
(x+y)^n \;=\; \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} \,x^k\,y^{\,n-k}.
Para usar essa fórmula no nosso caso, basta tomar x=2 e y=1.

Passo 3

Substituindo x=2 e y=1 na identidade binomial, fica
(2+1)^n \;=\; \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}2^k\,1^{\,n-k} \;=\;\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}2^k.

Resposta

3^n

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