Prove que \left\|v_{1}+v_{2}\right\|^{2}=\left\|v_{1}\right\|^{2}+2<v_{1}, v_{2}>+\left\|v_{2}\right\|^{2}, \forall v_{1}, v_{2} \in \mathbb{R}^{3}.

Passo 1

O enunciado pede que se prove a igualdade para todos os vetores v_{1},v_{2}\in\mathbb{R}^{3}:
\left\|v_{1}+v_{2}\right\|^{2}=\left\|v_{1}\right\|^{2}+2\langle v_{1},v_{2}\rangle+\left\|v_{2}\right\|^{2}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • Existem dois vetores arbitrários v_{1} e v_{2} em \mathbb{R}^{3}.
  • A norma \|\cdot\| é a norma euclidiana e \langle\cdot,\cdot\rangle é o produto interno (produto escalar) usual em \mathbb{R}^{3}.

Passo 2

Relembrando definições e propriedades que usaremos (explicadas de forma simples):
  • Definição do produto interno em \mathbb{R}^{3}. Se v=(v_{x},v_{y},v_{z}) e w=(w_{x},w_{y},w_{z}), então
\langle v,w\rangle = v_{x}w_{x}+v_{y}w_{y}+v_{z}w_{z}.
Isto é só multiplicar componente a componente e somar — nada de misticismo.
  • Definição da norma euclidiana. Para v\in\mathbb{R}^{3},
\|v\|=\sqrt{\langle v,v\rangle},
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\|v\|^{2}=\langle v,v\rangle.
  • Propriedades importantes do produto interno que vamos usar:
    1. Simetria: \langle u,w\rangle=\langle w,u\rangle.
    2. Linearidade em cada argumento (bilinearidade): para escalares a,b e vetores u,w,z,
    \langle a u + b w, z\rangle = a\langle u,z\rangle + b\langle w,z\rangle.
Essas propriedades são fáceis de ver usando a definição componente a componente.

Passo 3

Começamos a prova usando a relação entre norma ao quadrado e produto interno:
\left\|v_{1}+v_{2}\right\|^{2}=\langle v_{1}+v_{2},\,v_{1}+v_{2}\rangle.
Agora aplicamos a linearidade do produto interno no primeiro argumento (ou em ambos, passo a passo):
\langle v_{1}+v_{2},\,v_{1}+v_{2}\rangle = \langle v_{1},v_{1}+v_{2}\rangle + \langle v_{2},v_{1}+v_{2}\rangle.
Em seguida expandimos cada termo pela linearidade no segundo argumento:
\langle v_{1},v_{1}+v_{2}\rangle = \langle v_{1},v_{1}\rangle + \langle v_{1},v_{2}\rangle,
\langle v_{2},v_{1}+v_{2}\rangle = \langle v_{2},v_{1}\rangle + \langle v_{2},v_{2}\rangle.
Somando as duas expressões obtemos
\langle v_{1}+v_{2},v_{1}+v_{2}\rangle = \langle v_{1},v_{1}\rangle + \langle v_{1},v_{2}\rangle + \langle v_{2},v_{1}\rangle + \langle v_{2},v_{2}\rangle.

Passo 4

Usamos a simetria do produto interno para juntar os termos cruzados:
\langle v_{2},v_{1}\rangle = \langle v_{1},v_{2}\rangle,
logo os dois termos cruzados somam
\langle v_{1},v_{2}\rangle + \langle v_{2},v_{1}\rangle = 2\langle v_{1},v_{2}\rangle.
Substituindo isso na expressão do passo anterior e lembrando que \|v\|^{2}=\langle v,v\rangle, obtemos
\left\|v_{1}+v_{2}\right\|^{2} = \left\|v_{1}\right\|^{2} + 2\langle v_{1},v_{2}\rangle + \left\|v_{2}\right\|^{2},
que é exatamente a identidade pedida.

Passo 5

(Suporte intuitivo com cálculo em componentes — útil para conferir ou para quem prefere ver números)
Se escrever v_{1}=(a,b,c) e v_{2}=(d,e,f), então
v_{1}+v_{2}=(a+d,\,b+e,\,c+f),
e
\|v_{1}+v_{2}\|^{2}=(a+d)^{2}+(b+e)^{2}+(c+f)^{2}.
Expandindo cada quadrado:
(a+d)^{2}=a^{2}+2ad+d^{2},
e fazendo o mesmo para as outras componentes e somando tudo dá
a^{2}+b^{2}+c^{2}+2(ad+be+cf)+d^{2}+e^{2}+f^{2}.
Reconhecendo \|v_{1}\|^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}, \|v_{2}\|^{2}=d^{2}+e^{2}+f^{2} e \langle v_{1},v_{2}\rangle=ad+be+cf, recuperamos a mesma identidade:
\|v_{1}+v_{2}\|^{2}=\|v_{1}\|^{2}+2\langle v_{1},v_{2}\rangle+\|v_{2}\|^{2}.

Resposta

\left\|v_{1}+v_{2}\right\|^{2}=\left\|v_{1}\right\|^{2}+2\langle v_{1},v_{2}\rangle+\left\|v_{2}\right\|^{2}

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