Prove que
.
Passo 1
O enunciado pede que se prove a igualdade para todos os vetores
:
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- Existem dois vetores arbitrários
e em . - A norma
é a norma euclidiana e é o produto interno (produto escalar) usual em .
Passo 2
Relembrando definições e propriedades que usaremos (explicadas de forma simples):
- Definição do produto interno em
. Se e , então
Isto é só multiplicar componente a componente e somar — nada de misticismo.
- Definição da norma euclidiana. Para
,
logo
- Propriedades importantes do produto interno que vamos usar:
- Simetria:
. - Linearidade em cada argumento (bilinearidade): para escalares
e vetores ,
- Simetria:
Essas propriedades são fáceis de ver usando a definição componente a componente.
Passo 3
Começamos a prova usando a relação entre norma ao quadrado e produto interno:
Agora aplicamos a linearidade do produto interno no primeiro argumento (ou em ambos, passo a passo):
Em seguida expandimos cada termo pela linearidade no segundo argumento:
Somando as duas expressões obtemos
Passo 4
Usamos a simetria do produto interno para juntar os termos cruzados:
logo os dois termos cruzados somam
Substituindo isso na expressão do passo anterior e lembrando que
, obtemos
que é exatamente a identidade pedida.
Passo 5
(Suporte intuitivo com cálculo em componentes — útil para conferir ou para quem prefere ver números)
Se escrever e
, então
Se escrever
e
Expandindo cada quadrado:
e fazendo o mesmo para as outras componentes e somando tudo dá
Reconhecendo
,
e
, recuperamos a mesma identidade: