Prove que, se T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} é uma aplicação linear definida por T(v)=v+u, \forall v \in \mathbb{R}^{3} e u \in \operatorname{Ker}(T), então $T^{2}=T.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede algo claro:
  • Dado T: \mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} é uma aplicação linear.
  • Para todo v\in\mathbb{R}^{3} vale \,T(v)=v+u\,, onde u é um vetor fixo em \mathbb{R}^{3}.
  • Além disso foi informado que u\in \operatorname{Ker}(T), isto é, T(u)=0.
  • O que precisamos provar: \,T^{2}=T (isto é, T\circ T = T como operadores em \mathbb{R}^{3}).

Passo 2

Lembrando algumas propriedades úteis (pequena revisão didática):
  • Para qualquer aplicação linear S vale sempre S(0)=0. Uma prova curta: S(0)=S(0+0)=S(0)+S(0), daí subtraindo S(0) obtemos S(0)=0.
  • A definição de \operatorname{Ker}(T) é \operatorname{Ker}(T)=\{w\in\mathbb{R}^{3}\mid T(w)=0\}. Se um vetor w pertence ao núcleo então ele é levado ao vetor zero por T.
Vamos usar essas observações no caso concreto.

Passo 3

Usando linearidade de T e a fórmula dada, calcule T(0) de duas maneiras e compare:
  • Pela linearidade temos T(0)=0.
  • Pela definição T(v)=v+u, tomando v=0 obtemos T(0)=0+u=u.
Comparando as duas expressões de T(0) segue que u=0.
(Comentário didático: essa é a forma mais direta—como T é linear obrigatoriamente T(0)=0, e a expressão T(0)=u força u a ser o vetor zero.)

Passo 4

Uma verificação alternativa, que ilustra o uso da hipótese u\in\operatorname{Ker}(T):
  • Como u\in\operatorname{Ker}(T) temos T(u)=0.
  • Pela fórmula T(u)=u+u=2u. Então 2u=0.
  • Como estamos em \mathbb{R}^{3} (campo de característica zero), 2u=0 implica u=0.
As duas abordagens chegam à mesma conclusão: u=0.

Passo 5

Com u=0 a aplicação fica simplesmente T(v)=v para todo v. Ou seja, T é a identidade I em \mathbb{R}^{3}.
Agora calcule T^{2} agindo em um vetor arbitrário v:
T^{2}(v)=T(T(v))=T(v)=v.
Como isso vale para todo v\in\mathbb{R}^{3}, obtemos T^{2}=T (pois ambos operadores coincidem em todos os vetores).

Passo 6

Observação final (didática e útil para provas): a razão essencial da demonstração foi que a combinação das duas hipóteses (linearidade de T e a fórmula T(v)=v+u) força u=0. Em corpos de característica 2 a segunda via (usar 2u=0) não permitiria concluir u=0; porém aqui estamos em \mathbb{R}, então tudo está OK.

Resposta

\,T^{2}=T\,

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