Prove que se
, então
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede a seguinte afirmação:
-
Informações dadas:
-
. -
é um inteiro positivo, isto é .
-
-
O que se pede:
- Provar que
para todo .
- Provar que
Passo 2
Uma identidade algébrica útil: para quaisquer números
e
e inteiro
vale
Vou mostrar como essa identidade aparece, passo a passo.
Defina a soma
Multiplicando
por
e por
obtemos:
Subtraindo as duas expressões, os termos intermediários cancelam pareado a pareado, sobrando
Fatorando o lado esquerdo dá
que é exatamente a identidade anunciada.
Passo 3
Agora use a identidade para concluir a desigualdade. Pelas hipóteses,
. Vamos analisar a soma
Cada termo
é não negativo porque
e
. Além disso, pelo menos um dos termos é estritamente positivo: por exemplo
é estritamente positivo porque
(já que
). Logo
.
Como
e
, o produto
é estritamente positivo. Pela identidade do Passo 2 temos
Portanto
, o que implica
Passo 4
Um exemplo numérico rápido para sentir a ideia: tome
,
e
. Então
logo
, coerente com a prova geral.
Passo 5
Comentário final e observação sobre a hipótese
: a condição
é importante. Se permitirmos
com sinais negativos, a comparação entre
e
pode mudar de sinal dependendo da paridade de
. Por exemplo, com
e
temos
mas para
obtém-se
. Por isso a hipótese de não negatividade é necessária para a afirmação dada.