Prove que se
e
é ímpar, então
.
Passo 1
O enunciado dá que
e que
é um inteiro ímpar. O que precisamos provar é que
. Vou assumir que
e
são números reais (se o domínio for complexo a afirmação não é verdadeira sem hipóteses extras). Informações relevantes fornecidas:
-
. -
é ímpar (isto é, para algum inteiro ).
O objetivo: mostrar que, sob essas hipóteses, necessariamente.
Passo 2
Estratégia que vamos usar (explicada de forma simples): considerar a função
. Vou usar o Teorema do Valor Médio (uma ferramenta do cálculo) para mostrar que
é injetora quando
é ímpar — isto é, se
então
. Antes de aplicar o teorema, explico-o rapidamente e por que vale para
.
Teorema do Valor Médio (versão informal e útil aqui): se
é contínua no intervalo fechado
e derivável em
, então existe
tal que
No nosso caso,
é uma função polinomial, logo é contínua e derivável em todo
. A derivada é
Observe que, sendo
ímpar,
é par, portanto
para todo
, e
só se
. Assim
ocorre somente em
.
Passo 3
Agora aplico o argumento padrão por contradição: suponha que
. Sem perda de generalidade, passe a chamar
e
, então
. Aplicando o Teorema do Valor Médio à função
no intervalo
existe
tal que
Mas pela hipótese
temos
. Então o quociente é zero e segue que
Passo 4
Do cálculo de
no Passo 2 sabemos que
só pode ocorrer em
. Portanto
. Assim
, ou seja,
. Em palavras: se existisse
com
, então entre
e
deveria existir o ponto
.
Passo 5
Mas isso leva a uma contradição com a hipótese
. De fato, se
e
é ímpar, então
e
(porque potências ímpares preservam o sinal). Logo
, contradizendo
. A contradição veio da suposição
. Portanto essa suposição é falsa e devemos ter
.
Passo 6
Resumo do raciocínio em poucas linhas: aplicou-se o Teorema do Valor Médio a
. Se
então existe
entre
e
com
; mas
anula-se só em
, o que exigiria que
e
estivessem em lados opostos de zero, e aí
e
teriam sinais opostos (pois
é ímpar), não podendo ser iguais. Logo
.