Prove o seguinte:
Se
e
, então
. (Use (ix), de trás para frente.)
Se
Passo 1
O enunciado dá as seguintes hipóteses:
-
e . -
.
O que pede: provar que
.
Além disso é pedido usar (ix) “de trás para frente”. Vamos explicitar (ix) (a forma usual):
Não vamos aplicar (ix) diretamente (pois ele vai no sentido
), mas sim usar uma argumentação lógica que permita tirar a conclusão contrária a partir de
.
Passo 2
Estratégia escolhida: prova por contradição (ou redução ao absurdo). A ideia é assumir que a conclusão não é verdadeira — isto é, assumir
, o que equivale a
— e mostrar que isso leva a uma contradição com
. Esse método é natural porque (ix) dá uma implicação no sentido direto; ao assumir
(ou
) podemos aplicar (ix) e obter desigualdades contrárias às dadas.
Vou lembrar rapidamente a lógica usada:
- Se assumir
nos leva a contradizer , então a hipótese é impossível e, portanto, deve ser .
Passo 3
Assuma, para fins de contradição, que
. Existem duas subcasos a considerar:
-
Se
.
Então elevando ao quadrado obtemos. Isso contradiz a hipótese (não pode ser ao mesmo tempo igual e estritamente menor). Portanto a hipótese é impossível. -
Se
.
Comoe sabemos por hipótese que , temos . Agora aplicamos (ix) com e . Pela (ix), Mas a hipótese do problema nos dava. Assim chegamos às duas desigualdades simultâneas o que é impossível (uma cadeia assim não existe). Logotambém é impossível.
Portanto tanto
quanto
levam a contradição com
. Assim a suposição
é falsa.
Passo 4
Concluímos que a negação de
é verdadeira, isto é,
Comentário didático rápido: intuitivamente, sobre o conjunto
a função
é estritamente crescente — isso é exatamente a propriedade (ix). Por isso é legítimo “tirar raiz” de ambas as partes de
quando
; a prova acima formaliza essa ideia sem recorrer diretamente a propriedades da raiz quadrada, apenas usando (ix) e contradição.