Prove o seguinte:
Se a, b \geq 0 e a^{2}<b^{2}, então a<b. (Use (ix), de trás para frente.)

Passo 1

O enunciado dá as seguintes hipóteses:
  • a\ge 0 e b\ge 0.
  • a^{2}<b^{2}.
O que pede: provar que a<b.
Além disso é pedido usar (ix) “de trás para frente”. Vamos explicitar (ix) (a forma usual):
\text{(ix)}\quad\text{Se }0\le x<y\text{ então }x^{2}<y^{2}.ã
Não vamos aplicar (ix) diretamente (pois ele vai no sentido x<y\Rightarrow x^2<y^2), mas sim usar uma argumentação lógica que permita tirar a conclusão contrária a partir de a^{2}<b^{2}.

Passo 2

Estratégia escolhida: prova por contradição (ou redução ao absurdo). A ideia é assumir que a conclusão não é verdadeira — isto é, assumir \lnot (a<b), o que equivale a a\ge b — e mostrar que isso leva a uma contradição com a^{2}<b^{2}. Esse método é natural porque (ix) dá uma implicação no sentido direto; ao assumir a>b (ou a=b) podemos aplicar (ix) e obter desigualdades contrárias às dadas.
Vou lembrar rapidamente a lógica usada:
  • Se assumir a\ge b nos leva a contradizer a^{2}<b^{2}, então a hipótese a\ge b é impossível e, portanto, deve ser a<b.

Passo 3

Assuma, para fins de contradição, que a\ge b. Existem duas subcasos a considerar:
  1. Se a=b.
    Então elevando ao quadrado obtemos a^{2}=b^{2}. Isso contradiz a hipótese a^{2}<b^{2} (não pode ser ao mesmo tempo igual e estritamente menor). Portanto a hipótese a=b é impossível.
  2. Se a>b.
    Como a>b e sabemos por hipótese que b\ge 0, temos 0\le b<a. Agora aplicamos (ix) com x=b e y=a. Pela (ix),
    b^{2}<a^{2}.
    Mas a hipótese do problema nos dava a^{2}<b^{2}. Assim chegamos às duas desigualdades simultâneas
    b^{2}<a^{2}<b^{2},
    o que é impossível (uma cadeia assim não existe). Logo a>b também é impossível.
Portanto tanto a=b quanto a>b levam a contradição com a^{2}<b^{2}. Assim a suposição a\ge b é falsa.

Passo 4

Concluímos que a negação de a\ge b é verdadeira, isto é,
a<b.
Comentário didático rápido: intuitivamente, sobre o conjunto [0,\infty) a função x\mapsto x^{2} é estritamente crescente — isso é exatamente a propriedade (ix). Por isso é legítimo “tirar raiz” de ambas as partes de a^{2}<b^{2} quando a,b\ge0; a prova acima formaliza essa ideia sem recorrer diretamente a propriedades da raiz quadrada, apenas usando (ix) e contradição.

Resposta

a<b

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