Prove que
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos x}{x}=0

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos: queremos calcular o valor do limite
\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x}.
Dados importantes extraídos do enunciado:
  • A expressão a avaliar é \dfrac{1-\cos x}{x}.
  • A variável x tende a 0.
    A pergunta é: qual é o valor limite dessa expressão quando x se aproxima de 0?

Passo 2

Usar uma identidade trigonométrica útil: há uma identidade conhecida que liga 1-\cos x a \sin. Ela vem da fórmula do cosseno de ângulo duplo. A fórmula é
\cos(2u)=1-2\sin^{2}u.
Se isolarmos 1-\cos(2u) obtemos
1-\cos(2u)=2\sin^{2}u.
Agora fazemos a substituição 2u=x, isto é, u=\dfrac{x}{2}. Com isso obtemos a identidade que vamos usar:
1-\cos x = 2\sin^{2}\!\left(\frac{x}{2}\right).
Explicando: a variável u é só uma metade de x; essa identidade é exata para todo x.

Passo 3

Substituímos essa identidade na expressão do limite. Temos
\frac{1-\cos x}{x}=\frac{2\sin^{2}\!\left(\dfrac{x}{2}\right)}{x}.
Para manipular melhor, defina u=\dfrac{x}{2}. Então x=2u e |x|=2|u|. Reescrevendo com u,
\left|\frac{1-\cos x}{x}\right| = \left|\frac{2\sin^{2}u}{2u}\right| = \frac{\sin^{2}u}{|u|} = \frac{|\sin u|^{2}}{|u|}.
Coloquei valor absoluto para tratar dos sinais: trabalhar com desigualdades fica mais direto assim.

Passo 4

Agora precisamos de uma desigualdade básica sobre seno: para u próximo de 0 vale
|\sin u|\le |u|.
Vou justificar essa desigualdade de forma elementar (geometria no círculo unitário). Para 0<u<\dfrac{\pi}{2} considere o setor circular de raio 1 e ângulo u. A área do setor é \dfrac{1}{2}u. Dentro desse setor existe um triângulo isósceles de base na corda que tem área \dfrac{1}{2}\sin u. Esse triângulo está contido no setor, logo
\frac{1}{2}\sin u < \frac{1}{2}u \quad\Rightarrow\quad \sin u < u.
Para u=0 a desigualdade fica \sin 0 = 0 = 0. Para u<0 usa-se que \sin é ímpar ( \sin(-u)=-\sin u), então a desigualdade vale em módulo. Assim concluímos que, para u suficientemente próximo de 0,
|\sin u|\le |u|.
(Observação: essa é uma desigualdade clássica e válida, em particular, para todo u com |u|\le \dfrac{\pi}{2}, o que cobre a vizinhança de 0 que interessa ao limite.)

Passo 5

Usando essa desigualdade no passo anterior, aplicamos-a à expressão obtida em u:
\left|\frac{1-\cos x}{x}\right| = \frac{|\sin u|^{2}}{|u|} \le \frac{|u|^{2}}{|u|} = |u|.
Lembrando que u=\dfrac{x}{2}, temos
\left|\frac{1-\cos x}{x}\right| \le |u| = \frac{|x|}{2}.

Passo 6

Aplicamos agora o Teorema do Confronto (Squeeze Theorem). Temos para x perto de 0
-\,\frac{|x|}{2}\le \frac{1-\cos x}{x}\le \frac{|x|}{2}.
Como \dfrac{|x|}{2}\to 0 quando x\to 0, pelo Teorema do Confronto a expressão \dfrac{1-\cos x}{x} também tende a 0. Em palavras: uma função que está presa entre duas que vão para 0 também vai para 0.

Passo 7

Conclusão final do cálculo do limite. Portanto
\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x}=0.
Você conseguiu! Esse foi um caminho bem direto e totalmente elementar: usamos uma identidade trigonométrica, a desigualdade geométrica |\sin u|\le |u| e o Teorema do Confronto. Se quiser, posso mostrar também a mesma conclusão via expansão em série (Taylor) ou por derivadas — escolhe que eu te explico do jeitinho que preferir.

Resposta

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