Prove que lim x 5 x+12=3 (ou seja, utilize a definição formal de limite, com varepsilon e de ).

Passo 1

Vamos resolver o limite . Aqui, estamos trabalhando com cálculo de limites, especificamente usando a definição formal de limite que envolve e . Para resolver isso, vamos precisar entender como demonstrar que, para qualquer distância pequena em torno de 3, existe uma distância em torno de 5 que mantém dentro de de 3.

Passo 2

Primeiro, reescrevemos o que queremos provar usando a definição formal:
Para todo , existe tal que, se , então .

Passo 3

Vamos simplificar a expressão |x + 12 - 3| = |x + 1 - 62| = |x - 52| = |x - 5|2 :

Passo 4

Queremos que |x - 5|2 < varepsilon implies |x - 5| < 2varepsilon . Para isso, podemos isolar :

Passo 5

Então, se escolhemos , garantimos que sempre que , teremos , ou seja, .

Resposta

Portanto, para qualquer , podemos escolher para garantir que de acordo com a definição formal de limite.

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