Considere a série sumn=1^+infty 1-n2^n+1 para resolver os itens abaixo.
(b) Determine os números reais A, B que nos permite escrever
1-n2^n+1=n+A2^n+1+B n2^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão apresenta uma série matemática: sumn=1^+infty 1-n2^n+1. Nosso objetivo aqui é encontrar os números reais A e B que deixam a expressão 1-n2^n+1 igual a n+A2^n+1 + B n2^n. Para resolver isso, vamos precisar manipular equações algébricas e entender um pouco sobre séries infinitas.

Passo 2

Primeiro, vamos igualar as duas expressões dadas:
1 - n2^n+1 = n + A2^n+1 + B n2^n
Para facilitar a resolução, vamos colocar todas as partes sobre o mesmo denominador. Observando que B n2^n pode ser reescrito como B n cdot 22^n+1, já que 2^n = 2 cdot 2^n+1 / 2.
Então, a equação fica:
1 - n2^n+1 = n + A + 2B n2^n+1
Agora que temos os denominadores iguais, podemos igualar os numeradores:
1 - n = n + A + 2B n

Passo 3

Vamos reorganizar os termos para agrupar os termos semelhantes:
1 - n = n + A + 2B n 1 = n + A + 2B n + n 1 = A + n(1 + 2B)
Para que essa igualdade seja válida para todos os valores de n, os coeficientes das potências de n nos dois lados da equação devem ser iguais:
  1. O coeficiente de n no lado esquerdo é -1, e no lado direito é 1 + 2B. Então:
-1 = 1 + 2B 2B = -2 B = -1
  1. O termo constante no lado esquerdo é 1, e no lado direito é A. Portanto:
1 = A A = 1

Resposta

Os números reais são A = 1 e B = -1.

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