Calcule os limites a seguir, caso existam. Justifique a resposta.
lim x infty(raizx+5-raizx)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Esse problema está dentro do conteúdo de Cálculo de Limites, mais especificamente envolvendo funções radicais. Para resolver, vamos precisar manipular as expressões com raízes quadradas e entender o comportamento delas conforme cresce sem limite.

Passo 2

Primeiro, vamos observar o que acontece com e quando fica muito grande. Conforme aumenta, a diferença entre e tende a diminuir, já que o “+5” se torna menos significativo comparado ao valor grande de .

Passo 3

Para facilitar o cálculo, vamos racionalizar a expressão. Isso significa multiplicar e dividir a expressão original por raizx+5 - raizx = (raizx+5 - raizx)(raizx+5 + raizx)raizx+5 + raizx para eliminar as raízes no numerador:

Passo 4

Agora, vamos multiplicar os termos no numerador usando a identidade (raizx+5)^2 - (raizx)^2 = (x + 5) - x = 5 :
5raizx+5 + raizx
Então, a expressão fica:

Passo 5

Agora, analisamos o denominador raizx+5 + raizx approx 2raizx . Conforme tende ao infinito, e se comportam de forma semelhante a . Portanto, podemos aproximar o denominador por:

Passo 6

Substituindo a aproximação no denominador, temos:
52raizx
Agora, vamos calcular o limite dessa expressão quando tende ao infinito.

Passo 7

Quando vai para o infinito, também vai para o infinito. Portanto, vai se aproximar de zero, já que o denominador cresce sem limite enquanto o numerador permanece constante.

Resposta

lim x infty(raizx+5-raizx) = 0

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