Prove que \mathbb{Z} é um domínio euclidiano com a função \varphi(n)=|n|.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o anel \mathbb{Z} dos inteiros, com a função
\varphi\colon \mathbb{Z}\setminus\{0\}\longrightarrow\mathbb{N},\quad \varphi(n)=|n|,
é um domínio euclidiano.
Conteúdo: teoria de anéis, domínio de integridade e algoritmo da divisão em \mathbb{Z}.
O que precisamos: provar que para quaisquer a,b\in\mathbb{Z} com b\neq0 existem q,r\in\mathbb{Z} tais que
a = bq + r \quad\text{e}\quad r=0\\ \text{ou}\\ |r|<|b|.

Passo 2

Primeiro, note que para todo b\neq0 temos
\varphi(b)=|b|>0,
ou seja, \varphi é sempre um número natural positivo em cada divisor não nulo. Isso garante a condição básica de uma função euclidiana.

Passo 3

Agora aplicamos o algoritmo da divisão para inteiros com divisor positivo. Seja d=|b|>0. Pelo teorema da divisão em \mathbb{Z}, para qualquer a\in\mathbb{Z} existem únicos q',r\in\mathbb{Z} tais que
a = d\,q' + r \quad\text{e}\quad 0 \le r < d.
Esse r satisfaz \,|r|=r<d=|b|.

Passo 4

Falta relacionar esse resultado ao divisor b, que pode ser positivo ou negativo.
  • Se b>0, então d=b e podemos simplesmente tomar q=q'.
  • Se b<0, então d=-b, de modo que a = d\,q' + r = (-b)\,q' + r = b\,( -q' ) + r.Nesse caso escolhemos q = -q'.
    Em ambos os casos q\in\mathbb{Z} e r\in\mathbb{Z} satisfazem
a = b\,q + r \quad\text{e}\quad 0 \le |r| < |b|.

Passo 5

Concluímos que, para todo par (a,b) com b\neq0, existe divisão com resto r tal que r=0 ou |r|<|b|. Isso mostra exatamente que \varphi(n)=|n| é função euclidiana em \mathbb{Z}. Portanto \mathbb{Z} é um domínio euclidiano.

Resposta

Fica provado que \mathbb{Z} é domínio euclidiano com \varphi(n)=|n|.

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