Prove que
é um domínio euclidiano com a função
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o anel
dos inteiros, com a função
é um domínio euclidiano.
Conteúdo: teoria de anéis, domínio de integridade e algoritmo da divisão em .
O que precisamos: provar que para quaisquer com
existem
tais que
Conteúdo: teoria de anéis, domínio de integridade e algoritmo da divisão em
O que precisamos: provar que para quaisquer
Passo 2
Primeiro, note que para todo
temos
ou seja,
é sempre um número natural positivo em cada divisor não nulo. Isso garante a condição básica de uma função euclidiana.
Passo 3
Agora aplicamos o algoritmo da divisão para inteiros com divisor positivo. Seja
. Pelo teorema da divisão em
, para qualquer
existem únicos
tais que
Esse
satisfaz
.
Passo 4
Falta relacionar esse resultado ao divisor
, que pode ser positivo ou negativo.
- Se
, então e podemos simplesmente tomar . - Se
, então , de modo que Nesse caso escolhemos .
Em ambos os casose satisfazem
Passo 5
Concluímos que, para todo par
com
, existe divisão com resto
tal que
ou
. Isso mostra exatamente que
é função euclidiana em
. Portanto
é um domínio euclidiano.
Resposta
Fica provado que
é domínio euclidiano com
.