Em um domínio fatorial, prove que todo irredutível é primo.

Passo 1

O enunciado pede para provar que em um domínio fatorial (isto é, um domínio integral em que todo elemento não–nulo e não–unitário admite fatoração única em irreduzíveis) todo elemento irreduzível é também primo. Vamos usar as definições de irreduzível e primo e a propriedade de fatoração única.

Passo 2

Lembrando as definições:
– Um elemento p de um domínio integral é irredutível se não é unidade e, sempre que p=xy, ou x ou y é unidade.
– Um elemento p é primo se, sempre que p divide um produto ab, então p divide a ou p divide b.

Passo 3

Num domínio fatorial existe fatoração única: todo a\neq0 não–unitário pode ser escrito como
a = u\,p_{1}p_{2}\cdots p_{r},
onde u é unidade e os p_{i} são irreduzíveis, e essa escrita é única a menos de ordem e unidades associadas.

Passo 4

Agora seja p um irreduzível e suponha que p divide o produto ab. Ou seja, existe c tal que
ab = p\,c.
Factorando a e b segundo a fatoração única, escrevemos
a = u\,p_{1}p_{2}\cdots p_{r}, \quad b = v\,q_{1}q_{2}\cdots q_{s},
com u,v unidades e todos p_{i},q_{j} irreduzíveis. Então
ab = (u\,v)\;p_{1}p_{2}\cdots p_{r}\,q_{1}q_{2}\cdots q_{s}
também factoriza em irreduzíveis. Mas como ab = p\,c, pela unicidade de fatoração o irreduzível p deve ser associado a um dos p_{i} ou a um dos q_{j}.
Se p é associado a algum p_{i}, então p divide a.
Se p é associado a algum q_{j}, então p divide b.

Passo 5

Concluímos que, sempre que p irreduzível divide ab, ele divide a ou divide b. Isso é exatamente a definição de primo. Portanto todo irreduzível em domínio fatorial é primo.

Resposta

Em um domínio fatorial, todo elemento irreduzível é primo.

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