Em um domínio fatorial, prove que todo irredutível é primo.
Passo 1
O enunciado pede para provar que em um domínio fatorial (isto é, um domínio integral em que todo elemento não–nulo e não–unitário admite fatoração única em irreduzíveis) todo elemento irreduzível é também primo. Vamos usar as definições de irreduzível e primo e a propriedade de fatoração única.
Passo 2
Lembrando as definições:
– Um elemento de um domínio integral é irredutível se não é unidade e, sempre que
, ou
ou
é unidade.
– Um elemento é primo se, sempre que
divide um produto
, então
divide
ou
divide
.
– Um elemento
– Um elemento
Passo 3
Num domínio fatorial existe fatoração única: todo
não–unitário pode ser escrito como
onde
é unidade e os
são irreduzíveis, e essa escrita é única a menos de ordem e unidades associadas.
Passo 4
Agora seja
um irreduzível e suponha que
divide o produto
. Ou seja, existe
tal que
Factorando
e
segundo a fatoração única, escrevemos
com
unidades e todos
irreduzíveis. Então
também factoriza em irreduzíveis. Mas como
, pela unicidade de fatoração o irreduzível
deve ser associado a um dos
ou a um dos
.
Se
é associado a algum
, então
divide
.
Se é associado a algum
, então
divide
.
Se
Passo 5
Concluímos que, sempre que
irreduzível divide
, ele divide
ou divide
. Isso é exatamente a definição de primo. Portanto todo irreduzível em domínio fatorial é primo.
Resposta
Em um domínio fatorial, todo elemento irreduzível é primo.